Triangles MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Triangles - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

వివరణాత్మక పరిష్కారం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + 72° + 80° = 360°

⇒ ∠A + ∠B = 360° - 152° = 208°

ΔAOB లో

∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - (∠A + ∠B)/2

⇒ ∠AOB = 180° - 208°/2

∴ ∠AOB = 180° - 104° = 76°

 Additional Information  Short Trick:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

2∠AOB = ∠C + ∠D

⇒ 2∠AOB = 72° + 80°

⇒ ∠AOB = 152°/2 = 76°

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఒక వృత్తం 30 సెం.మీ, 40 సెం.మీ మరియు 50 సెం.మీ భుజాల త్రిభుజాన్ని చుట్టుముడుతోంది.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

వృత్తం చుట్టుకొలత = 2πr

సాధన:

వర్ణించబడిన త్రిభుజం ఒక లంబ త్రిభుజం (నుండి), దీనిని పైథాగరియన్ ట్రిప్లేట్ అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక లంబ త్రిభుజంలో, చుట్టుకొలత (త్రిభుజాన్ని చుట్టుముట్టే వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం) కర్ణములో సగం పొడవు ఉంటుంది.

కర్ణము 50 సెం.మీ కాబట్టి, చుట్టుకొలత 50/2 = 25 సెం.మీ.

చుట్టుకొలత వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత 2 × π × 25 సెం.మీ = 50π సెం.మీ.

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

వివరణాత్మక పరిష్కారం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + 72° + 80° = 360°

⇒ ∠A + ∠B = 360° - 152° = 208°

ΔAOB లో

∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - (∠A + ∠B)/2

⇒ ∠AOB = 180° - 208°/2

∴ ∠AOB = 180° - 104° = 76°

 Additional Information  Short Trick:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

2∠AOB = ∠C + ∠D

⇒ 2∠AOB = 72° + 80°

⇒ ∠AOB = 152°/2 = 76°

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఒక వృత్తం 30 సెం.మీ, 40 సెం.మీ మరియు 50 సెం.మీ భుజాల త్రిభుజాన్ని చుట్టుముడుతోంది.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

వృత్తం చుట్టుకొలత = 2πr

సాధన:

వర్ణించబడిన త్రిభుజం ఒక లంబ త్రిభుజం (నుండి), దీనిని పైథాగరియన్ ట్రిప్లేట్ అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక లంబ త్రిభుజంలో, చుట్టుకొలత (త్రిభుజాన్ని చుట్టుముట్టే వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం) కర్ణములో సగం పొడవు ఉంటుంది.

కర్ణము 50 సెం.మీ కాబట్టి, చుట్టుకొలత 50/2 = 25 సెం.మీ.

చుట్టుకొలత వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత 2 × π × 25 సెం.మీ = 50π సెం.మీ.

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

ఇవ్వబడినవి:

O అనేది ΔABC యొక్క లంబకేంద్రము అయితే, ∠BOC = 100° మరియు ∠AOB = 90°

నిర్వచనాలు:

లంబకేంద్రము అనేది త్రిభుజంలోని మూడు శీర్షాల నుండి అన్ని ఎత్తుల ఖండన స్థానం

ఒకవేళ ΔABCలో, CE మరియు BD ఎత్తులో ఉంటే మరియు అవి O వద్ద కలుస్తాయి,

∠BOC + ∠BAC = 180 ^∘

ఒక బిందువు చుట్టూ ఉన్న అన్ని కోణాల మొత్తం 360°.

లెక్కలు:

ప్రశ్న ప్రకారం,

∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360° (సంపూర్ణ కోణం)

⇒ 90° + 100° + ∠AOC = 360° 

⇒ ∠AOC = 360° - 190° = 170° 

ఇప్పుడు, ∠AOC = 180° – ∠ABC

⇒ ∠ABC = 180° – ∠AOC

⇒ ∠ABC = 180° – 170° = 10°

∴ ∠ABC యొక్క కొలత 10°.

కాన్సెప్ట్:

త్రిభుజం యొక్క చిన్న భుజం = చిన్న కోణానికి ఎదురుగా

త్రిభుజం యొక్క పొడవైన భుజం = గొప్ప కోణానికి ఎదురుగా.

లెక్కింపు:

ఇలా అనుకుందాం,

∠A = 2x, ∠B = 4x, ∠C = 3x

మనకు తెలిసింది,

∠A + ∠B + ∠C = 180∘

⇒ 2x + 4x + 3x = 180∘

⇒ 9x = 180∘

⇒ x = 20∘

అందుకే,

∠A = 2x = 40∘

 ∠B = 4x = 80∘

∠C = 3x = 60∘

అందువల్ల, చిన్న భుజం మరియు పొడవైన భుజాల BC మరియు AC ఉంటాయి

భావన:

త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకు సమానం.

ఒకే చేయి మరియు శీర్షాన్ని పంచుకునే రేఖపై ఉన్న కోణాల జత ఎల్లప్పుడూ 180 డిగ్రీల మొత్తాన్ని ఇస్తుంది.

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

బొమ్మ నుండి, 110 ^o కోణం ప్రక్కనే ఉన్న కోణం 180 ^o - 110 ^o = 70 ^o కి సమానం

త్రిభుజం లోపల కోణాల మొత్తం సూత్రం ప్రకారం, మనం వ్రాయవచ్చు

x + 60 ^o + 70 ^o = 180 ^o

x + 130 ^o = 180 ^o

x = 50 ^o

కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక 1 .

భావన:

ఒక త్రిభుజం యొక్క అంతర్కేంద్రం అనేది ఆ త్రిభుజంలోని మూడు అంతర్గత కోణ ద్విభాగాల ఖండన బిందువు.

త్రిభుజం ABC యొక్క అంతర్కేంద్రం యొక్క నిరూపకాలు, శీర్షాల నిరూపకాలు, $A\left({\mathrm{x1,\; y1}}^{}\right),B(x2,\; y2),C(x3,\; y3)$ మరియు వైపులాa$,$b,cఎ , బి , సి a , b , c ఉన్నాయి:

లెక్కింపు:

(1.5, 0), (1.5, 6) మరియు (-1, 6) అనేవి త్రిభుజం యొక్క మధ్య బిందువులు.

మధ్య బిందువులు ఉన్న యాదృచ్ఛిక త్రిభుజాన్ని గీద్దాం.

A, B, C శీర్షాల విలువలను కనుగొనండి.

X_a = 1.5 + 1.5 - (-1) = 4    Y_a = 0 + 6 - 6 = 0

X_b = 1.5 + (-1) - 1.5 = -1    Y_b = 0 + 6 - 6 = 0

X_c = 1.5 + (-1) - 1.5 = -1      Y_c = 6 + 6 - 0 = 12

శీర్షాల విలువలను లెక్కించిన తర్వాత యాదృచ్ఛిక త్రిభుజం:

శీర్షాల విలువలతో నిరూపక అక్షంపై యాదృచ్ఛిక త్రిభుజాన్ని గీయండి.

పై త్రిభుజం ABC నుండి,

(x₁ , y₁ ) బిందువు A యొక్క నిరూపకాలు మరియు 'a' బిందువు A కి ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు.

(x₂ , y₂ ) బిందువు B యొక్క నిరూపకాలు మరియు 'b' బిందువు B కి ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు.

(x₃ , y₃) బిందువు C యొక్క నిరూపకాలు మరియు 'c' బిందువు C కి ఎదురుగా ఉన్న త్రిభుజం వైపు.

AB = 5, BC = 12, AC = ?

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం,

AC² = AB² + BC²

AC² = 5² + 12² = 169

∴ AC = 13

కాబట్టి, (x₁, y₁) = (4, 0) మరియు a = 12

(x₂ , y₂ ) = (-1, 0) మరియు b = 13

(x₃ , y₃ ) = (-1, 12) మరియు c = 5

త్రిభుజం ABC యొక్క అంతర్కేంద్రం యొక్క నిరూపకాలు,

భావన:

త్రిభుజం చుట్టుకొలత = అన్ని వైపుల మొత్తం

త్రిభుజం వైశాల్యం = (1/2)బేస్ × ఎత్తు

లెక్కింపు:

ఇది ప్రస్తావించబడనందున, Δ ABC ఏ రకమైన త్రిభుజం. కాబట్టి, గణనను సులభతరం చేయడానికి

మనం ఊహిద్దాం, Δ ABC అనేది ∠A 90° ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం.

a = 5, b = 4, మరియు c = 3 (పైథాగరియన్ ట్రిపుల్)

పై భావనను ఉపయోగించి, చుట్టుకొలత

p = 3 + 4 + 5

⇒ p = 12

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

q = (1/2) 3 × 4

⇒ q = 6

అందువల్ల, అవసరమైన విలువ

= 12(12 - 2 × 5)tan (90°/2) [∵ ∠A = 90°]

⇒ p(p − 2a)tan(A/2) = 24 [∵ tan 45° = 1

ఎంపిక 4 నుండి

4q = 4 × 6 = 24

∴ 4q సరైన సమాధానం.

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి కాన్సెప్ట్:

త్రిభుజం చుట్టుకొలత = అన్ని భుజాల మొత్తం = a + b + c

స్కేలేన్ త్రిభుజం వైశాల్యం = ,

హాఫ్ యాంగిల్ ఫార్ములా:

ఇక్కడ 2s = a + b + c మరియు a, b, c త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

లెక్కింపు:

p అనేది త్రిభుజం చుట్టుకొలత అయితే,

p = a + b + c ----(1)

q = ----(2)

ఇక్కడ a , b , c అనేవి త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

ఇప్పుడు,

= ( a + b+ c ) ( a + b+ c - 2a )

⇒ ( a + b+ c ) ( a + b+ c - 2a )

⇒ (a + b+ c) (a + b+ c - 2a)

భావన:

కోణ ద్విభాగ సిద్ధాంతం:

త్రిభుజంలోని ఒక కోణ ద్వంద్వ త్రిభుజం యొక్క ఇతర రెండు వైపులా అదే నిష్పత్తిలో ఉన్న రెండు భాగాలుగా ఎదురుగా విభజిస్తుంది.

కొసైన్ నియమం

చూపిన విధంగా త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి:

కొసైన్ నియమానికి సంబంధించిన ముగింపులు క్రిందివి

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc × cosA

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac × cosB

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab × cosC

A, B, C శీర్షాల వద్ద ఉన్న కోణాలు

లెక్కింపు:

దానిని బట్టి,

AB = 2, BC = √7 మరియు AC = 3

కొసైన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc × cosA

⇒ cos A = 1/2

⇒ A = 60 ^∘

కాబట్టి, AD పంక్తి ∠A యొక్క కోణ ద్విసెక్టార్

అందుకే,

కోణ ద్విభాగ సిద్ధాంతం నుండి,

⇒ DC =

కాబట్టి, ఎంపిక 3 సరైనది.

వివరణాత్మక పరిష్కారం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + 72° + 80° = 360°

⇒ ∠A + ∠B = 360° - 152° = 208°

ΔAOB లో

∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - (∠A + ∠B)/2

⇒ ∠AOB = 180° - 208°/2

∴ ∠AOB = 180° - 104° = 76°

 Additional Information  Short Trick:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

2∠AOB = ∠C + ∠D

⇒ 2∠AOB = 72° + 80°

⇒ ∠AOB = 152°/2 = 76°

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఒక వృత్తం 30 సెం.మీ, 40 సెం.మీ మరియు 50 సెం.మీ భుజాల త్రిభుజాన్ని చుట్టుముడుతోంది.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

వృత్తం చుట్టుకొలత = 2πr

సాధన:

వర్ణించబడిన త్రిభుజం ఒక లంబ త్రిభుజం (నుండి), దీనిని పైథాగరియన్ ట్రిప్లేట్ అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక లంబ త్రిభుజంలో, చుట్టుకొలత (త్రిభుజాన్ని చుట్టుముట్టే వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం) కర్ణములో సగం పొడవు ఉంటుంది.

కర్ణము 50 సెం.మీ కాబట్టి, చుట్టుకొలత 50/2 = 25 సెం.మీ.

చుట్టుకొలత వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత 2 × π × 25 సెం.మీ = 50π సెం.మీ.

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.