\(\rm \left(\dfrac{1}{x}\right)^x\) এর সর্বোচ্চ মান কত?

ধারণা:

ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা নির্ণয়ের ধাপ:

1. \(\rm \dfrac {dy}{dx}\) নির্ণয় করুন এবং শূন্যের সমান করুন

2. x অর্থাৎ ক্রিটিকাল পয়েন্টের মান নির্ণয় করুন

3. সর্বোচ্চ মানের জন্য বিন্দুতে f(x) এর মান পেতে f(x) এ x এর মান বসান।

গণনা:

প্রদত্ত, f(x) = \(\rm \left(\dfrac{1}{x}\right)^x\)

ধরি, y = \(\rm \left(\dfrac{1}{x}\right)^x\)

উভয় দিকে লগ নিয়ে পাই,

ln y = x ln( \(\rm \dfrac 1 x\) )

⇒ln y = -x ln x

⇒ \(\rm \dfrac {dy}{dx}= -ln\; x -1\)

সমীকরণ \(\rm \dfrac {dy}{dx} = 0\)

⇒ \(\rm -ln\; x -1 = 0\)

⇒ x = \(\dfrac 1 e\))

সুতরাং, সর্বাধিক মানের জন্য আমরা বিন্দুতে f(x) এর মান পেতে f(x) এ x = \(\dfrac 1 e\) এর মান বসিয়ে পাই,

f(x) = e1/e

তাই, \(\rm \left(\dfrac{1}{x}\right)^x\) এর সর্বোচ্চ মান হল e1/e