ऐसे z ∈ ℂ कि 1 − z − z2 ≠ 0 हो, के लिए f(z) = द्वारा परिभाषित फलन f पर विचार करें। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा सत्य है?

Question

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This question was previously asked in

CSIR UGC (NET) Mathematical Science: Held On (7 June 2023)

f सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है।
f का z = 0 पर एकघात अनंतक (simple pole) है।
f का टेलर श्रेणी विस्तार f(z) = anzn है, जहां गुणांकों a_n, n ≥ 0 को a0 = 1, a1 = 0 तथा an+2 = an + an+1 की तरह पुनरावर्ती रूप में परिभाषित किया है।
f का टेलर श्रेणी विस्तार f(z) = anzn है, जहां गुणांकों a_n, n ≥ 0 को a0 = 1, a1 = 1 तथा an+2 = an + an+1 की तरह पुनरावर्ती रूप में परिभाषित किया है।

Answer 1

अवधारणा:

एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है

स्पष्टीकरण:

f(z) = z ∈ ℂ के लिए

f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं

1 - z - z ² = 0 ⇒ z = =

तो f(z) में z = पर एक ध्रुव है

अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं

f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है

f(z) = a n z n = f(0) + z + ....

तो a 0 = f(0) = 1

और a 1 =

अब, f'(z) = - (-1 - 2z)

तो f'(0) = 1

अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है

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