माना कि \(f\left( {x,y} \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\;\;\;{x^2} + {y^2} \ne 0}\\ {0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = y = 0} \end{array}} \right.\), फिर Then Which of the following is not Correct?

संकल्पना:

(x, y) = (a, b) के लिए परिभाषित एक फलन f(x, y) को (x, y) = (a, b) पर निरंतर कहा जाता है यदि:

i) f(a, b) = (x, y) = (a, b) पर f(x, y) का मान परिमित है।

ii) फलन f(x, y) की सीमा मौजूद है जैसे (x, y) → (a, b) और (x, y) = (a, b) पर f(x, y) के मान के बराबर है

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\)

ध्यान दें:

किसी फलन को किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए, यह उस बिंदु पर भी निरंतर होना चाहिए।

गणना:

दिया हुआ:

\(f\left( {x,y} \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\;\;\;{x^2} + {y^2} \ne 0}\\ {0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = y = 0} \end{array}} \right.\)

फलन f(x, y) निरंतर होने के लिए:

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\) और परिमित।

f(a,b) = f(0,0) ⇒ 0 (दिया गया)

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {r,\theta } \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {r,\theta} \right) =\frac{ r^2cos\theta rsin\theta }{r} \)

fx(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {h,0 } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(h, 0) - f(0, 0)} / h = 0 

fy(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {0,k } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(0, k) - f(0, 0)} / k = 0 

∵ the limit value is defined and function value is 0 at (x,y) = (0,0), ∴ the function f(x,y) is continuous.

Hence, Option 2, 3 & 4 all are correct 

Hence, Option 1 is not correct 

Hence, The Correct Answer is option 1.