एक डोरी के विस्थापन के लिए दिया गया मान है

y (x,t) = 0.06 sin (2πx/3) cos (120πt)

जहाँ x और y m में और t s में हैं। डोरी की लंबाई 1.5m है और इसका द्रव्यमान 3.0 × 10-2 kg है।

व्याख्या:

→जब एक ही प्रकार की प्रगतिशील तरंगो में (दोनों अनुदैर्ध्य या दोनों अनुप्रस्थ) रेलों के दो जोड़े, एक ही समय अवधि में समान आयाम के साथ होते हैं, तो ये विपरीत दिशाओं में समान सीधी रेखा के साथ समान गति से गमन करते हुए, तरंगों का एक नया जोड़ा बनता है। इन्हें अप्रगामी तरंगें या स्थायी तरंगें कहा जाता है।​

→मान लीजिए कि एक प्रगामी तरंग किसी वस्तु द्वारा वापस परावर्तित हो जाती है।

आपतित और परावर्तित तरंगों की अवधि, आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य समान होते हैं।​

इसलिए वे अध्यारोपित होकर अप्रगामी तरंगो का निर्माण करते हैं।

→आपतित तरंग,

y₁ = A sin (ωt - kx) [ x धनात्मक दिशा की ओर गमन कर रहा है]

→अपवर्तित तरंग,

y2 = A sin (ωt + kx) [ x ऋणात्मक दिशा की ओर गमन कर रहा है​]

→अध्यारोपित अप्रगामी तरंग,

y = y₁ + y₂ = A [ sin (ωt - kx) + sin (ωt + kx) ]

निम्न सूत्र का उपयोग करने पर, sinA + sinB = 2[ sin(A+B)/2 cos(A-B)/2 ]

y = 2A sin(kx) cos(ωt) ----- (1)

यह समीकरण अप्रगामी तरंग के लिए है। 

→अब दिया गया समीकरण है, 

y (x,t) = 0.06 sin (2πx/3) cos (120πt)   ---- (2)

यह समीकरण (1) द्वारा दिए गए समीकरण के समान है

इसलिए यह एक अप्रगामी तरंग है। 

∴ विकल्प (1) गलत है।

→समीकरण (2) की तुलना (1) के साथ करने पर हमे प्राप्त होता है 

2A = 0.06 ⇒ A = 0.06/2 = 0.03

ω = 120π

2πf = 120π (f = आवृति)

f = 60 Hz.

अतः दी गई तरंग एक अप्रगामी तरंग है जिसकी आवृत्ति 60 Hz है।

∴ विकल्प (2) सही है।

→समीकरण (2) की तुलना (1) के साथ करने पर हमे प्राप्त होता है 

k = 2π/3

2π/λ = 2π/3 (λ =तरंगदैध्र्य )

λ = 3 m

तरंग की चाल v = fλ = 60×3 = 180 m/s

∴ विकल्प (3) सही है।

→स्थिर तरंग में माध्यम के सभी कण SHM क्रियान्वित करते हैं।

कणों के आयाम एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

∴ विकल्प (4) गलत है।

अतः विकल्प (2) और (3) सही हैं।