താഴെപ്പറയുന്ന ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് u:u (x, y)  

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}};y \ge 0; \le {x_1} \le x \le {x_2}\)

സമവാക്യം അദ്വിതീയമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ സെറ്റ് സഹായ നിബന്ധനകൾ: 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\(\frac{{\partial v}}{{\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}};\) y ≥ 0; x1 ≤ x ≤ x2

∵ y ≥ 0 ⇒ ഇത് ‘t’ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

\(\therefore \frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}}\)

ഇത് 1-D താപ സമവാക്യമാണ്. ഇത് ഒരു ഏകീകൃത കമ്പിയിൽ താപനില വിതരണം അളക്കുന്നു.

പൊതുവായ പരിഹാരം u = f (x, t) ആണ്

u = (c1 cos px + c2 sin px)  \(\left( {{c_3}{e^{ - {c^2}{p^2}t}}} \right)\)

സഹായ പരിഹാരങ്ങളിൽ പ്രാരംഭ, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.

1) പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളുടെ എണ്ണം = ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ = 1 ലെ സമയ വ്യുൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ക്രമം

2) അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളുടെ എണ്ണം:

  \(\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}}\) ; ഈ ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇത് രണ്ടുതവണ സംയോജിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതുവഴി രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരതകളെ (arbitrary constants) അവതരിപ്പിക്കുന്നു. 

ഈ ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് 2 അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളും 1 പ്രാരംഭ നിബന്ധനയും ആവശ്യമാണ്.