Inequalities MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Inequalities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Mar 18, 2025
Latest Inequalities MCQ Objective Questions
Inequalities Question 1:
α, 1 - 2x - 5x² এর সর্বোচ্চ মান এবং β, x² - 2x + r এর সর্বনিম্ন মান হলে, 5αx² + βx + 6 > 0 সকল বাস্তব x এর জন্য সত্য হলে, r-এর অন্তরালটি নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
- একটি বক্ররেখার সমালোচনামূলক বিন্দু বের করতে, এর প্রথম অন্তরজকে শূন্যের সমান রাখুন।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে কম হয়।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে বড় হয়।
গণনা:
ধরা যাক, f(x) = 1 - 2x - 5x²
x-এর সাপেক্ষে ফাংশনটির অন্তরজ নিলে:
=> f'(x) = -2 - 10x
সন্ধি বিন্দু পেতে f'(x) = 0 রাখলে
=> -2 - 10x = 0
=> 10x = -2
অথবা x = -1/5
এখন f''(x) = -10
=> f''(-1/5) = -10, যা শূন্যের চেয়ে কম।
অতএব, x = -1/5 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
=> সর্বোচ্চ মান α = f(-1/5) = 1 - 2(-1/5) - 5(-1/5)²
=> α = 1 + 2/5 - 1/5
=> α = 6/5.
ধরা যাক, g(x) = x² - 2x + r
=> g'(x) = 2x - 2
সন্ধি বিন্দু পেতে g'(x) = 0 রাখলে
2x - 2 = 0 => x = 1
g''(x) = 2
=> g''(1) = 2, যা শূন্যের চেয়ে বেশি।
অতএব, x = 1 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
=> সর্বনিম্ন মান β = g(1) = 1² - 2 × 1 + r
=> β = r - 1
তাহলে, 5αx² + βx + 6 = 5 × (6/5)x² + (r - 1)x + 6
= 6x² + (r - 1)x + 6
যেহেতু 5αx² + βx + 6 > 0 এবং x² এর সহগ > 0
অতএব, D < 0
=> (r - 1)² - 4 × 6 × 6 < 0
=> (r - 1)² - 144 < 0
=> (r - 1)² - (12)² < 0
=> (r - 1 - 12)(r - 1 + 12) < 0
=> (r - 13)(r + 11) < 0
=> r ∈ (-11, 13)
প্রয়োজনীয় অন্তরালটি হল (-11, 13)।
Top Inequalities MCQ Objective Questions
Inequalities Question 2:
α, 1 - 2x - 5x² এর সর্বোচ্চ মান এবং β, x² - 2x + r এর সর্বনিম্ন মান হলে, 5αx² + βx + 6 > 0 সকল বাস্তব x এর জন্য সত্য হলে, r-এর অন্তরালটি নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 2 Detailed Solution
ধারণা:
- একটি বক্ররেখার সমালোচনামূলক বিন্দু বের করতে, এর প্রথম অন্তরজকে শূন্যের সমান রাখুন।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে কম হয়।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে বড় হয়।
গণনা:
ধরা যাক, f(x) = 1 - 2x - 5x²
x-এর সাপেক্ষে ফাংশনটির অন্তরজ নিলে:
=> f'(x) = -2 - 10x
সন্ধি বিন্দু পেতে f'(x) = 0 রাখলে
=> -2 - 10x = 0
=> 10x = -2
অথবা x = -1/5
এখন f''(x) = -10
=> f''(-1/5) = -10, যা শূন্যের চেয়ে কম।
অতএব, x = -1/5 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
=> সর্বোচ্চ মান α = f(-1/5) = 1 - 2(-1/5) - 5(-1/5)²
=> α = 1 + 2/5 - 1/5
=> α = 6/5.
ধরা যাক, g(x) = x² - 2x + r
=> g'(x) = 2x - 2
সন্ধি বিন্দু পেতে g'(x) = 0 রাখলে
2x - 2 = 0 => x = 1
g''(x) = 2
=> g''(1) = 2, যা শূন্যের চেয়ে বেশি।
অতএব, x = 1 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
=> সর্বনিম্ন মান β = g(1) = 1² - 2 × 1 + r
=> β = r - 1
তাহলে, 5αx² + βx + 6 = 5 × (6/5)x² + (r - 1)x + 6
= 6x² + (r - 1)x + 6
যেহেতু 5αx² + βx + 6 > 0 এবং x² এর সহগ > 0
অতএব, D < 0
=> (r - 1)² - 4 × 6 × 6 < 0
=> (r - 1)² - 144 < 0
=> (r - 1)² - (12)² < 0
=> (r - 1 - 12)(r - 1 + 12) < 0
=> (r - 13)(r + 11) < 0
=> r ∈ (-11, 13)
প্রয়োজনীয় অন্তরালটি হল (-11, 13)।