Properties of Complex Numbers MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Properties of Complex Numbers - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

হিসাব:

একটি সমান্তরিক বিবেচনা করুন যার শীর্ষবিন্দু z ₁ , z ₂ , z ₃ , z ₄ ক্রমানুসারে রয়েছে।

বিকল্প (A): সমান্তরিক

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল।

⇒ z2 − z1 = z3 − z4

⇒ z ₁ + z ₃ = z ₄ + z ₂

⇒ z ₁ − z ₄ = z ₂ − z ₃

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ -(z ₁ - z ₂ ) = z ₃ - z ₄

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

বিকল্প (B): আয়তক্ষেত্র

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলির মধ্যে কোণ হল π/2

⇒ z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)\) = π/2

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

বিকল্প (C): রম্বস

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হল π/2

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z২ − z ৩

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)\) = π/2

⇒ \(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

বিকল্প (D): বর্গক্ষেত্র

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহু এবং কর্ণগুলির মধ্যে কোণ হল π/2।

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z১ + জেড ৩ = জেড ৪ + জেড ২

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)\) = π/2

⇒ \(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)\) = π/2

⇒\(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

∴ (A) → (p), (r); (B) → (p), (r), (t); (C) → (p), (r), (s); (D) → (p), (r), (s), (t)

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1 

ধারণা:

যদি z = a + ib হয়, তাহলে |z| = \(\sqrt{a^2\,+\,b^2}\)

যদি z = a + ib হয়, তাহলে \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{a \,-\,ib}{{a^2\,+\,b^2}}\)

|z₁z₂| = |z₁| x |z₂|

গণনা:

প্রদত্ত z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i এবং z3 = 3 + 4i

∴ \(\frac{1}{z_{1}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{1^2\,+\,2^2}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{5}}\)

অনুরূপভাবে \(\frac{2}{z_{2}}\) = 2 x \(\frac{1}{z_{2}}\) = 2 x \(\frac{1\,-\,i}{{1^2\,+\,1^2}}\) = 2 x \(\frac{1\,-\,i}{{2}}\) = (1 - i)

\(\frac{2}{z_{2}}\) = (1 - i)

⇒ \(\frac{1}{z_{2}} \) = \(\frac{1-i}{2}\)

\(\frac{z_3}{z_2}\) = z₃ x \(\frac{1}{z_{2}} \) = (3 + 4i) x \(\frac{1-i}{2}\)

⇒ \(\frac{z_3}{z_2}\) = \(\frac{7+i}{2}\)

আমাদের খুঁজে বের করতে হবে \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \)

\(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \) = \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)} \right| \) x \(\left | \frac{z_3}{z_2} \right|\)

= \(\left| {\left( {\frac{1\,+\,2i}{{5}} + (1-i)}\right)} \right|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{1+2i+5-5i}{5}\Big|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{6-3i}{5}\Big|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\frac{\sqrt{6^2+(-3)^2}}{5} \times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{36+9}}{5} \times \frac{\sqrt{49+1}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{\sqrt{50}}{2} =\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{5\sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} \times \sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} }{\sqrt2}\)

= \(\sqrt \frac{45}{2} \)

মান নির্ণয় করে পাই \(\sqrt \frac{45}{2} \).

ধারণা:

যদি z = a + ib হয়, তাহলে |z| = \(\sqrt{a^2\,+\,b^2}\)

যদি z = a + ib হয়, তাহলে \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{a \,-\,ib}{{a^2\,+\,b^2}}\)

|z₁z₂| = |z₁| x |z₂|

গণনা:

প্রদত্ত z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i এবং z3 = 3 + 4i

∴ \(\frac{1}{z_{1}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{1^2\,+\,2^2}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{5}}\)

অনুরূপভাবে \(\frac{2}{z_{2}}\) = 2 x \(\frac{1}{z_{2}}\) = 2 x \(\frac{1\,-\,i}{{1^2\,+\,1^2}}\) = 2 x \(\frac{1\,-\,i}{{2}}\) = (1 - i)

\(\frac{2}{z_{2}}\) = (1 - i)

⇒ \(\frac{1}{z_{2}} \) = \(\frac{1-i}{2}\)

\(\frac{z_3}{z_2}\) = z₃ x \(\frac{1}{z_{2}} \) = (3 + 4i) x \(\frac{1-i}{2}\)

⇒ \(\frac{z_3}{z_2}\) = \(\frac{7+i}{2}\)

আমাদের খুঁজে বের করতে হবে \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \)

\(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \) = \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)} \right| \) x \(\left | \frac{z_3}{z_2} \right|\)

= \(\left| {\left( {\frac{1\,+\,2i}{{5}} + (1-i)}\right)} \right|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{1+2i+5-5i}{5}\Big|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{6-3i}{5}\Big|\) x \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\frac{\sqrt{6^2+(-3)^2}}{5} \times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{36+9}}{5} \times \frac{\sqrt{49+1}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{\sqrt{50}}{2} =\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{5\sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} \times \sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} }{\sqrt2}\)

= \(\sqrt \frac{45}{2} \)

মান নির্ণয় করে পাই \(\sqrt \frac{45}{2} \).

হিসাব:

একটি সমান্তরিক বিবেচনা করুন যার শীর্ষবিন্দু z ₁ , z ₂ , z ₃ , z ₄ ক্রমানুসারে রয়েছে।

বিকল্প (A): সমান্তরিক

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল।

⇒ z2 − z1 = z3 − z4

⇒ z ₁ + z ₃ = z ₄ + z ₂

⇒ z ₁ − z ₄ = z ₂ − z ₃

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ -(z ₁ - z ₂ ) = z ₃ - z ₄

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

বিকল্প (B): আয়তক্ষেত্র

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলির মধ্যে কোণ হল π/2

⇒ z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)\) = π/2

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

বিকল্প (C): রম্বস

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হল π/2

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z২ − z ৩

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)\) = π/2

⇒ \(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

বিকল্প (D): বর্গক্ষেত্র

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহু এবং কর্ণগুলির মধ্যে কোণ হল π/2।

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z১ + জেড ৩ = জেড ৪ + জেড ২

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ \(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}\) = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)\) = π/2

⇒ \(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

এছাড়াও, arg \(\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)\) = π/2

⇒\(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\) সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

∴ (A) → (p), (r); (B) → (p), (r), (t); (C) → (p), (r), (s); (D) → (p), (r), (s), (t)

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1