Reciprocal MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Reciprocal - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

x + (1/x) = 6

ব্যবহৃত সূত্র:

(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²

গণনা:

(x + 1/x)² = 6²

⇒ x² + 2 + 1/x² = 36

⇒ x² + 1/x² = 36 - 2

⇒ x² + 1/x² = 34

∴ সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প (2) ।

প্রদত্ত:

x > 1

x² + 1/x² = 83

আমাদের x³ - 1/x³ নির্ণয় করতে হবে।

ব্যবহৃত সূত্র:

1. (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2

2. x³ - 1/x³ = (x - 1/x) x (x² + 1/x² + 1)

গণনা:

ধাপ 1: x - 1/x নির্ণয় করুন

(x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2

(x - 1/x)² = 83 - 2 = 81

x - 1/x = √81 = 9

ধাপ 2: x³ - 1/x³ নির্ণয় করুন

সূত্র ব্যবহার করে:

x³ - 1/x³ = (x - 1/x) × (x² + 1/x² + 1)

x - 1/x = 9 এবং x² + 1/x² = 83 বসিয়ে পাই:

x³ - 1/x³ = 9 × (83 + 1)

x³ - 1/x³ = 9 × 84 = 756

x³ - 1/x³ এর মান হল 756

প্রদত্ত:

a + 1/a = 12 $a + 1/a = 12$

ব্যবহৃত সূত্র:

a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2

গণনা:

a + 1/a = 12
$a + 1/a = 12$

⇒ (a + 1/a)² = 12²

⇒ (a² + 1/a²) + 2 = 144

⇒ a² + 1/a² = 144 - 2

⇒ a² + 1/a² = 142

a² + 1/a² এর মান 142

অনুসৃত সূত্র:

x + (1/x) = a

x - (1/x) = √(a² - 4)

গণনা:

⇒ x² - 7x + 1 = 0

x দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:

⇒ x - 7 + (1/x) = 0

⇒ x + (1/x) = 7

এখন, (x - 1/x) = -√(49 - 4) = - √45 = - 3√5

[এখানে 0 < x < 1 অতএব x - (1/x) < 0]

⇒ x2 - (1/x2) = [x - (1/x)] [x + (1/x)]

⇒ 7 × (-3√5)

⇒ -21√5

∴ সঠিক উত্তর হল - 21√5

Mistake Points

এখানে 0 < x < 1

⇒ 1/x > 1

⇒ x - 1/x < 0

এইভাবে, x2 - (1/x2) = [x - (1/x)] [x + (1/x)] < 0

প্রদত্ত:

(x2 - \(\frac{1}{x^2}\)) = 4\(√6\) = (x + \(\frac{1}{x}\))(x - \(\frac{1}{x}\)) ...(1)

উভয় পক্ষকে বর্গ করলে

⇒ (x² - \(\frac{1}{x^2}\))² = 16 x 6

⇒ x4 + \(\frac{1}{x^4}\) - 2 = 96

⇒ x4 + \(\frac{1}{x^4}\) = 98

⇒ x4 + \(\frac{1}{x^4}\) + 2 = 98 + 2

⇒ (x2 + \(\frac{1}{x^2}\))² = 100

⇒ x2 + \(\frac{1}{x^2}\) = 10

⇒ x2 + \(\frac{1}{x^2}\) + 2 = 10 + 2

⇒ (x + \(\frac{1}{x}\))² = 12

⇒ x + \(\frac{1}{x}\) = √12 = 2√3 ...(2)

সুতরাং

⇒ x - \(\frac{1}{x}\) = 2√2 [সমীকরণ (1) কে (2) দিয়ে ভাগ করে]

এবং

(x - \(\frac{1}{x}\))3 = (x3 - \(\frac{1}{x^3}\)) - 3 (x - \(\frac{1}{x}\))

⇒ (2√2)³ = x3 - \(\frac{1}{x^3}\) - 3(2√2)

⇒ 16√2 + 6√2 = x3 - \(\frac{1}{x^3}\)

⇒ x3 - \(\frac{1}{x^3}\) = 22√2

প্রদত্ত:

x - (1/x) = (- 6)

অনুসৃত​ সূত্র:

যদি x - (1/x) = P হয়, তাহলে

x + (1/x) = √(P² + 4) 

যদি x + (1/x) = P হয়, তাহলে

x3 + (1/x3) = (P³ - 3P)

x⁵ - (1/x⁵) = {x³ + (1/x³)} × {x² - 1/x²} + {x - (1/x)}

গণনা:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

x3 + (1/x3) =  (√40)³ - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

অতএব,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × x + (1/x) × x - (1/x)} + (- 6)

⇒ {74√10 × 2√10  × (-6)} - 6

⇒ 74√10 × { (- 12√10)} - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ নির্ণেয় উত্তর হল  - 8886

প্রদত্ত:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

অনুসৃত সূত্র:

(a + 1/a) = P ; then

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

গণনা:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)³ - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a⁵ + (1/a⁵) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ সঠিক উত্তর হল 15127

প্রদত্ত:

x2 + (1/x2) = 7

অনুসৃত​ সূত্র:

x² + (1/x²) = P

তাহলে, x + (1/x) = √(P + 2)

এবং, x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

গণনা:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ সঠিক উত্তর হল - 3√5

Mistake Pointsমনে রাখবেন,

0 < x < 1

অতএব,

1/x > 1

সুতরাং,

x + 1/x > 1

এবং,

x - 1/x < 0 (কারণ, 0 < x < 1, এবং 1/x > 1, সুতরাং x - 1/x < 0)

সুতরাং,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0

অনুসৃত সূত্র

(a - b)² = a² + b² - 2ab

গণনা

রাশিটিকে 4/7 দিয়ে গুণ করে পাই

⇒  4/7 × (7b - 1/4b) = 7 × 4/7

⇒  4b - 1/7b = 4

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:

⇒ (4b - 1/7b)² = 4²

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\)- 2 × 4 × 1/7 = 16

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\) = 16 + 8/7

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\) = 120/7

মানটি হল 120/7

প্রদত্ত:

x - (1/x) = √6

অনুসৃত সূত্র:

x⁸ - (1/x⁸) = {x⁴ + (1/x⁴)} × {x² + (1/x²)} × {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

গণনা:

x - (1/x) = √6

x² + (1/x²) = (√6)² + 2 = 8

x⁴ + (1/x⁴) = (8)² - 2 = 62

x + (1/x) = √{(√6)² + 4} = √10

x8 - (1/x8) = {x4 + (1/x4)} × {x2 + (1/x2)} × {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 62 × 8 × √10 × √6 = 496 × 2 × √15 = 992√15

∴ সঠিক উত্তর হল 992√15

প্রদত্ত:

\(x^{2} - 5x + 1 = 0\)

অনুসৃত ধারণা:

যদি a + 1/a = b হয়, তাহলে

a³ + 1/a³ = b³ - 3b

গণনা:

x² - 5x + 1 = 0

⇒ x2 + 1 = 5x

⇒ x + 1/x = 5

এখন,

\(\frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{5x^{3}}\)

⇒ \(\frac{x^{3}+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{5}\) [\(\frac{1}{x^3}\) দ্বারা ভাগ করে পাই]

⇒ \(\frac{5^3 -3\times5+5}{5}\)

⇒ \(\frac{125 - 15 +5}{5}\)

⇒ \(\frac{115}{5}\)

⇒ 23

∴ নির্ণেয় উত্তর হল 23

প্রদত্ত:

x + (1/x) = - 6

ব্যবহৃত সূত্র:

যদি x + (1/x) = P হয়, তাহলে

⇒ x² + (1/x²) = (P² - 2)

যদি x + (1/x) = P হয়, তাহলে

⇒ x3 + (1/x3) = P3 - 3P

x5 + (1/x5) = {x3 + (1/x3)} x {x2 + 1/x2} - {x + (1/x)}

গণনা:

x + (1/x) = - 6

⇒ x2 + (1/x2) = (- 6)² - 2

⇒ 36 - 2 = 34

এখন,

x + (1/x) = - 6

⇒ x3 + (1/x3) = (- 6)3 - 3 (- 6)

⇒ (- 216) + 18 = (- 198)

x5 + (1/x5) = {x3 + (1/x3)} x {x2 + 1/x2} - {x + (1/x)}

⇒ (- 198) x 34 - (- 6)

⇒ (- 6732) + 6 = - 6726

∴ সঠিক উত্তর হল - 6726

অনুসৃত ধারণা:

• (x + 1/x) = a হলে (x - 1/x) = √(a² - 4)

• x + 1/x = a হলে (x³ + 1/x³) = a³ - 3a

• x - 1/x = a হলে (x³ - 1/x³) = a³ + 3a

গণনা:

\(\rm \left(x+\frac{1}{x}\right)=2√2\) হলে (x - 1/x) = √(8 - 4) = 2

\(\rm \left(x^6-\frac{1}{x^6}\right)\)

⇒ (x³)² - (1/x³)²

⇒ (x³ + 1/x³) (x³ - 1/x³)

⇒ [(2√2)³ - 3(2√2)] [2³ + 3 × 2]

⇒ [16√2 - 6√2] × 14

⇒ 10√2 × 14

⇒ 140√2

∴ সঠিক উত্তর 140√2

প্রদত্ত:

\({\rm x} + \frac{1}{{\rm x}} = - 14\)

অনুসৃত ধারণা:

(a² - b²) = (a + b)(a - b)

সমাধান:

\({\rm x} + \frac{1}{{\rm x}} = - 14 \)

⇒ \({\rm x^2} + \frac{1}{{\rm x^2}} +2= 196 \)

⇒ \({\rm x^2} + \frac{1}{{\rm x^2}} +2-4= 196-4 \)

⇒ \({\rm x^2} + \frac{1}{{\rm x^2}} -2= 192 \)

⇒ \(({\rm x} - \frac{1}{{\rm x}})^2= 192 \)

⇒ \({\rm x} - \frac{1}{{\rm x}} =\pm 8√3 \)

যেহেতু x < -1 সুতরাং, \({\rm x} - \frac{1}{{\rm x}} =- 8\sqrt3 \)

এখন,

\({{\rm x}^2} - \frac{1}{{{{\rm x}^2}}}\) = (- 14) x (\(-8\sqrt 3 \))

⇒ \(112\sqrt 3 \)

∴ নির্ণেয় উত্তর হল \(112\sqrt 3 \)