Area of a Triangle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Area of a Triangle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

स्पष्टीकरण:

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

स्पष्टीकरण:

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

स्पष्टीकरण:

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

अवधारणा:
शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है:

गणनाएँ:

त्रिभुज के शीर्ष (-2, a), (2, -6) और (5, 4) हैं।

क्षेत्रफल = 35 वर्ग इकाई

⇒

⇒ [(-2)(-6)(1) + (a)(1)(5) + (1)(2)(4) - (1)(-6)(5) - (a)(2)(1) - (-2)(1)(4)]

⇒

⇒

⇒ 70 = 58 + 3a

⇒ 12 = 3a

⇒

इसलिए, सही विकल्प 1) 4 है।

संप्रत्यय:

• निर्देशांक का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल: (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
• क्षेत्रफल = (1/2) x |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
• यह सूत्र सारणिक ज्यामिति की अवधारणा का उपयोग करता है और शीर्ष क्रम की परवाह किए बिना निरपेक्ष क्षेत्रफल देता है।
• दिया गया क्षेत्रफल अज्ञात निर्देशांक मानों को खोजने के लिए एक समीकरण बनाने में मदद करता है।

गणना:

दिया गया है, शीर्ष A(−3, 0), B(3, 0), C(0, k) और क्षेत्रफल = 9 वर्ग इकाई

सूत्र का उपयोग करते हुए: क्षेत्रफल = (1/2) x |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

⇒ (1/2) x |−3(0 − k) + 3(k − 0) + 0(0 − 0)| = 9

⇒ (1/2) x |−3(−k) + 3k| = 9

⇒ (1/2) x |3k + 3k| = 9

⇒ (1/2) x |6k| = 9

⇒ |6k| = 18

⇒ 6k = ±18

⇒ k = ±3

∴ k का मान 3 या −3 है।

यहाँ विकल्प 3 सही उत्तर होगा।

संकल्पना:

शीर्ष (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

क्षेत्रफल = 

गणना:

दिया गया है, शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

​⇒ क्षेत्रफल = 

⇒ क्षेत्रफल = [-3(0 - k) - 0 + 1(3k)]

⇒ क्षेत्रफल = 3k

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

⇒ 3k = 9

⇒ k = 3

अतः k का मान 3 है। 

अवधारणा:

यदि  और  एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो 

क्षेत्रफल = 

सारणिकों के गुण

गणना:

यदि  और  एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो

क्षेत्रफल = 

दिया हुआ: क्षेत्रफल 'k' वर्ग इकाइयाँ है

⇒ k = 

⇒ 

अब, 

= 

= 

= 16.(2k)(2k)

= 64k²

संकल्पना:

यदि  और एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो,

क्षेत्रफल = 

सूचना: क्षेत्रफल सदैव एक धनात्मक राशि है, इसलिए हम सदैव क्षेत्रफल के लिए सारणिक का विशिष्ट मान लेते हैं। 

गणना:

दिया गया शीर्ष A (1, 1) ,B ( 6, 0) और C ( 3, 2) हैं। 

हम जानते हैं कि त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

Δ = 

⇒ Δ =  

⇒ Δ =  

⇒ Δ =    

सही विकल्प 1 है। 

संकल्पना:

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया गया है, जिसके शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) हैं

गणना:

दिया गया है, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई और शीर्ष (K, 0), (4, 0), (0, 2)  है। 

इसलिए क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है लेकिन सारणिक धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है। 

∴ Δ = ± 4 . 

⇒ ± 4 =   

⇒ ± 4   

⇒ ± 8 = -2k + 8 

इसलिए, 8 = -2k + 8 या  -8 = -2k +8 

⇒ k = 0 या 8  .

सही विकल्प 2 है। 

अवधारणा:

सारणिक का प्रयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल-

      ----(1)

प्रयुक्त सूत्र:

GP का nवाँ पद दिया गया है;

T_n = a.r^{(n - 1)}      ----(2)

जहाँ a = प्रथम पद और r = सार्व अनुपात।

गणना:

चूँकि a,x₁, x₂  GP में हैं, जिसका सार्व अनुपात r है

⇒ x₁ = a.r, x₂ = a.r²      [(2) का उपयोग करके]

चूँकि b, y1, y2 GP में हैं जिसका सार्व अनुपात s है,

⇒ y1 = b.s, y2 = b.s²      [(2) का उपयोग करके]

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया है-

      [(1) का उपयोग करके]

C₁ → C₁ - C₃ और C₂ → C₂ - C₃ को लगाने पर, हमें प्राप्त,

      (∵ (a - b)(a + b) = a² - b²)

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

दिया गया है:

त्रिभुज के शीर्ष A(4, 8), B(-6, 2) और C(5, 4) हैं। 

अवधारणा:

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिए जाते हैं, जिसके शीर्ष हैं,

गणना:

त्रिभुज के शीर्ष A(4, 8), B(-6, 2) और C(5, 4) हैं,

तो क्षेत्रफल है,

अतः विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) के साथ त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

गणना

दिया गया है त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई

⇒  = 10

R1 = R1 - R2

⇒  = 20

⇒ |5 (2 - a) - 0 + 0| = 20

⇒ |2 - a| = 4 

⇒ a = -2 or 6

अवधारणा: 

शीर्षो (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है

क्षेत्रफल = 

व्याख्या:

दिया गया है, शीर्षो (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।

∴ क्षेत्रफल = 

⇒ क्षेत्रफल = [-3(0 - k) - 0 + 1(3k - 0)]

⇒ क्षेत्रफल =  × 6k

⇒ क्षेत्रफल = 3k

शीर्षो (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।

∴ 3k = 9

⇒ k = 3

संकल्पना-

त्रिभुज का क्षेत्रफल 

गणना​-

यदि A(x₁, y₁) B(x2, y2) और C(x₃, y₃) त्रिभुज के शीर्ष हैं तो इसका क्षेत्रफल होगा 

यहाँ x₁ = 3, x₂ = 4, x₃ = 0 और y₁ = -2, y2 = 0, y3 = -4

त्रिभुज का क्षेत्रफल = [3(0 - (-4)) + 4(-4 - (-2)) + 0(-2 - 0)]

क्षेत्रफल = (12 + (-8) + 0)

क्षेत्रफल = 2

∴ शीर्ष​​ (3, -2), (4, 0), (0, -4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 2 है।

अवधारणा:

बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) के साथ त्रिभुज का क्षेत्रफल =

गणना

त्रिभुज का क्षेत्रफल A =

⇒ A =

⇒ 2A = 1(1 - 4) - (-2)(3 - 2) + 1(12 - 2)

⇒ 2A  = -3 + 2 + 10

⇒ A = = 4.5 वर्ग इकाई