Mathematics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mathematics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

• टाई की प्रायिकता: तब होती है जब A और B दोनों को बराबर चित प्राप्त होते हैं।
  • (A = 0, B = 0): 1/4 × 1/8 = 1/32
  • (A = 1, B = 1): 1/2 × 3/8 = 3/16
  • (A = 2, B = 2): 1/4 × 3/8 = 3/32
  • कुल बराबरी की प्रायिकता, T = 1/32 + 3/16 + 3/32 = 5/16
• माना E = किसी के जीतने तक राउंड की अपेक्षित संख्या
• पुनरावृत्ति है: E = 1 + T × E
• ⇒ E − (5/16)E = 1
• ⇒ (11/16)E = 1
• ⇒ E = 16/11

∴ अंतिम उत्तर: 11 E = 16 है। 

हल:

• A, 2 सिक्के उछालता है ⇒ चित: 0, 1, 2, प्रायिकताएँ: 1/4, 1/2, 1/4
• B, 3 सिक्के उछालता है ⇒ चित: 0, 1, 2, 3, प्रायिकताएँ: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8

A के लिए अनुकूल परिणाम:

• (1, 0): 1/2 × 1/8 = 1/16
• (2, 0): 1/4 × 1/8 = 1/32
• (2, 1): 1/4 × 3/8 = 3/32

कुल P(A जीतता है) = 1/16 + 1/32 + 3/32 = 3/16

P(B जीतता है): = 1/2

P(टाई): = 1 − (3/16 + 1/2) = 5/16

माना कि P = A के जीतने की अंतिम प्रायिकता है। 

⇒ P = 3/16 + 5/16 × P

⇒ P − (5/16)P = 3/16

⇒ (11/16)P = 3/16

⇒ P = 3/11

∴ K = 3

अवधारणा:

• त्रिभुज की माध्यिका: शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड।
• केंद्रक (G): माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु; यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
• वृत्त त्रिभुज की भुजा को स्पर्श करता है: वृत्त के गुणों और दूरियों के आधार पर ज्यामितीय संबंधों का उपयोग करें।
• महत्वपूर्ण गुणधर्म: यदि AG : AF = AB² और AG = 2 × GD है, तो बीजीय समीकरण अभीष्ट लंबाई ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

गणना:

माना कि GD = x, DF = y

⇒ AG = 2x, AF = x + y

⇒ 2x(3x + y) = 36

⇒ xy = 4

⇒ 3x² + 4 = 18

⇒ x² = 14/3

⇒ AD = 3x = √42

अब, AC² + AB² = 2(AD² + BD²)

⇒ AC² + 36 = 2(42 + 4)

⇒ AC² + 36 = 92

⇒ AC² = 56

AC2 = 56

अवधारणा:

• त्रिभुज की माध्यिका: शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड।
• केंद्रक (G): माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु; यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
• वृत्त त्रिभुज की भुजा को स्पर्श करता है: वृत्त के गुणों और दूरियों के आधार पर ज्यामितीय संबंधों का उपयोग करें।
• महत्वपूर्ण गुणधर्म: यदि AG : AF = AB² और AG = 2 × GD है, तो बीजीय समीकरण अभीष्ट लंबाई ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

गणना:

माना कि GD = x, DF = y

⇒ AG = 2x, AF = x + y

⇒ 2x(3x + y) = 36

⇒ xy = 4

⇒ 3x² + 4 = 18

⇒ x² = 14/3

⇒ AD = 3x = √42

AD = √42

AD² = 42

संप्रत्यय:

• क्रमित त्रिक: यदि x, y, z ∈ ℕ और xyz = N, तो क्रमित त्रिकों की संख्या अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके गुणनफल रूप के हलों की संख्या का उपयोग करके पाई जाती है।
• बहुपद प्रसार: (x + y + z)ⁿ के प्रसार में पदों की संख्या x + y + z = n के ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या के बराबर होती है।
• असमिका हल: ax² + bx + c ≤ 0 के रूप की द्विघात असमिकाओं के लिए, संगत समीकरण को हल करें और मान्य अंतराल के भीतर पूर्णांक मान निर्धारित करें।
• x + y + z = n के हलों की संख्या: x, y, z ∈ ℕ के लिए, हलों की संख्या C(n−1, r−1) के बराबर होती है जहाँ r = चरों की संख्या।

गणना:

दिया गया है,

(A) xyz = 243

⇒ 243 = 3⁵

⇒ प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित त्रिकों की संख्या a + b + c = 5 के ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या के बराबर है

⇒ हलों की संख्या = C(5 + 3 - 1, 2) = C(7, 2) = 21

⇒ त्रिक क्रमित हैं ⇒ 21

(B) (x + y + z)⁶ का प्रसार

⇒ पदों की संख्या = C(6 + 3 - 1, 2) = C(8, 2) = 28

(C) x² + x - 400 ≤ 0

⇒ समीकरण x² + x - 400 = 0 को हल करें:

⇒ x = [-1 ± √(1 + 1600)]/2 = [-1 ± √1601]/2

⇒ √1601 ≈ 40 ⇒ x का परिसर 1 से 19 तक है। 

⇒ मान्य पूर्णांक मान = 19

(D) x + y + z = 10, जहाँ x, y, z ∈ ℕ

⇒ x' = x−1, y' = y−1, z' = z−1 सेट करके ऋणात्मक हल में परिवर्तित करें:

⇒ x' + y' + z' = 7

⇒ हलों की संख्या = C(7 + 3 - 1, 2) = C(9, 2) = 36

∴ सही मिलान A-(s), B-(r), C-(p), D-(t) है। 

⇒ विकल्प (2)

संकल्पना:

sin (2nπ ± θ) = ±  sin θ

sin (90 + θ) = cos θ

गणना:

दिया गया है कि:  sin (1920°)

⇒ sin (1920°) = sin(360° × 5° + 120°) = sin (120°)

संकल्पना:

कोटि: एक अवकल समीकरण की कोटि इसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। 

घात: एक अवकल समीकरण की घात इसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की घांत होती है, जिसके बाद समीकरण को तब तक करणी से मुक्त रूप में व्यक्त किया जाता है जब तक अवकलज संबंधित हैं। 

गणना:

दिया गया है:

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}}} \right)} \)

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}}}} \)

\(\Rightarrow {\rm{y}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^3} + 1\)

दिए गए अवकल समीकरण के लिए उच्चतम कोटि का अवकलज 1 है। 

अब, उच्चतम कोटि के अवकलज की घांत 3 है। 

हम जानते हैं कि, एक अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घांत है। 

अतः अवकल समीकरण की घात 3 है। 

Mistake Pointsध्यान दें कि, एक शब्द (dx/dy) है जिसे घात या कोटि की गणना करने से पहले dy/dx रूप में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है।

दिया गया है:

दिया गया आंकड़ा 5, 10, 3, 6, 4, 8, 9, 3, 15, 2, 9, 4, 19, 11, 4 है

प्रयुक्त अवधारणा:

बहुलक वह मान है जो किसी आंकड़े में सबसे अधिक बार आता है

माध्यक ज्ञात करने के समय

सबसे पहले, दिए गए आंकड़ें को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिये और फिर पद ज्ञात कीजिये

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य = सभी पदों का योग/पदों की कुल संख्या

माध्यक = {(n + 1)/2}^वां पद जब n विषम होगा

माध्यक = 1/2[(n/2)वां पद + {(n/2) + 1}वां] पद जब n सम होगा

परास = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

गणना:

दिए गए आंकड़ें को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 11, 15, 19

यहाँ, अधिकतर आने वाला आंकड़ा 4 है तो

बहुलक = 4

दिए गए आंकड़ें में कुल पद, (n) = 15 (यह विषम है)

माध्यक = {(n + 1)/2}वां पद जब n विषम है

⇒ {(15 + 1)/2}वां पद

⇒ (8)वां पद

⇒ 6 

अब, परास = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

⇒ 19 – 2 = 17

परास, बहुलक और माध्यक का माध्य = (परास + बहुलक + माध्यक)/3

⇒ (17 + 4 + 6)/3 

⇒ 27/3 = 9

∴ परास, बहुलक और माध्यक का माध्य 9 है।

प्रयुक्त सूत्र:

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निम्न द्वारा दिया गया है,

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

जहां, \(u_i \ = \ \frac{X_i\ -\ a}{h}\)

Xi = वर्ग i का माध्य

fi = वर्ग i के अनुरूप बारंबारता

दिया गया है:

गणना:

अब, नीचे, आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए ∑fiXi और ∑fi को ज्ञात करना,

तब,

हम जानते हैं कि वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य है

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

= \(\frac{1535}{43}\)

= 35.7

अतः, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 35.7 है। 

अवधारणा :

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec x = 1/cos x and cosec x = 1/sin x

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab)

गणना :

\(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{1}{{{\rm{cosA}}}} - \frac{1}{{{\rm{sinA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{{{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}}}{{{\rm{sinA}}.{\rm{cosA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \(\frac{sinA - cosA}{cosA[\frac{sinA - cosA}{sinA.cosA}]}\)

⇒ \(\frac{(sinA - cosA)\times sinA.cosA}{cosA[sinA - cosA]}\)

⇒ \(\frac{ sinA.cosA}{cosA}\)

⇒ sin A

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

अवधारणा:

• परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो संख्याओं के अनुपात या उस संख्या को दर्शाती हैं जो हमें किन्हीं दो पूर्णांकों से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
• अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें हम साधारण भिन्नों a/b के रूप में निरूपित नहीं कर सकते हैं, और b शून्य के बराबर नहीं है।
• जब हम कोई दो परिमेय संख्याएँ जोड़ते हैं तो उनका योग सदैव परिमेय रहता है।
• लेकिन अगर हम एक अपरिमेय संख्या को एक परिमेय संख्या के साथ जोड़ते हैं तो योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होगी।

व्याख्या:

स्थिति:1 दो अपरिमेय संख्याएँ π और 1 - π लीजिए 

⇒ योग =  π +1 - π = 1

जो एक परिमेय संख्या है।

स्थिति:2 दो अपरिमेय संख्याएँ π और √2  लीजिए 

⇒ योग =  π + √2

जो एक अपरिमेय संख्या है।

इसलिए, दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय या एक अपरिमेय संख्या हो सकता है।

दिया है:

tan0° tan1° tan2° tan3° tan4° …… tan89°

सूत्र:

tan 0° = 0

गणना:

tan0° × tan1° × tan2° × ……. × tan89°

⇒ 0 × tan1° × tan2° × ……. × tan89°

⇒ 0

धारणा:

माना कि z = x + iy एक जटिल संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्मन = = x – iy

गणना:

माना कि z = (1 + i) ³

(a + b) ³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का उपयोग करके

⇒ z = 1³ + i³ + 3 × 1² × i + 3 × 1 × i²

= 1 – i + 3i – 3

= -2 + 2i

इसलिए, (1 + i) ³ का संयुग्मन -2 – 2i है

NOTE:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म समान वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के विपरीत चिन्ह वाला अन्य संयुग्म संख्या है। 

धारणा:

cosec² x – cot² x = 1

गणना:

दिया हुआ: p = cosec θ – cot θ और q = (cosec θ + cot θ)^-1

⇒ cosec θ + cot θ = 1/q

जैसा कि हम जानते हैं कि,, cosec² x – cot² x = 1

⇒ (cosec θ + cot θ) × (cosec θ – cot θ) = 1

\(\frac1q \times p=1\)

धारणा:

sin² x + cos² x = 1

गणना:

दिया हुआ: sin θ + cos θ = 7/5 

उपर्युक्त समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है

⇒ (sin θ + cos θ)² = 49/25

⇒ sin² θ + cos² θ+ 2sin θ.cos θ = 49/25

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin2 x + cos2 x = 1

⇒ 1 + 2sin θcos θ = 49/25

⇒ 2sin θcos θ = 24/25