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व्याख्या:

स्थिर रूप से निर्धारित और अनिर्धारित बीम

• संरचनात्मक इंजीनियरिंग में, एक बीम को इस आधार पर वर्गीकृत किया जाता है कि समर्थन पर प्रतिक्रियाओं का निर्धारण कैसे किया जा सकता है। एक स्थिर रूप से निर्धारित बीम वह होता है जहाँ केवल स्थिर संतुलन के समीकरणों का उपयोग करके प्रतिक्रियाएँ पाई जा सकती हैं। इसके विपरीत, एक स्थिर रूप से अनिर्धारित बीम को अतिरिक्त संगतता समीकरणों की आवश्यकता होती है क्योंकि अज्ञात की संख्या संतुलन समीकरणों की संख्या से अधिक होती है।
• एक बीम की स्थिरता और निर्धारण समर्थन के प्रकारों और व्यवस्थाओं और भार लगाने के तरीके पर निर्भर करता है। एक बीम के स्थिर रूप से निर्धारित होने के लिए, ऊर्ध्वाधर बलों का योग, क्षैतिज बलों का योग और क्षणों का योग शून्य के बराबर होना चाहिए, और ये स्थितियाँ सभी अज्ञात प्रतिक्रियाओं को विकृति संगतता का सहारा लिए बिना खोजने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए।

बीम के प्रकार:

• सरल रूप से समर्थित बीम: एक बीम जो दोनों सिरों पर समर्थित होता है जिसमें समर्थन पर कोई क्षण प्रतिरोध नहीं होता है। यह एक स्थिर रूप से निर्धारित बीम का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।
• कैंटिलीवर बीम: एक बीम जो एक छोर पर स्थिर होता है और दूसरे छोर पर मुक्त होता है। यह भी स्थिर रूप से निर्धारित है क्योंकि संतुलन समीकरणों का उपयोग करके प्रतिक्रियाएँ पाई जा सकती हैं।
• ओवरहैंगिंग बीम: एक बीम जो अपने एक या दोनों समर्थनों से आगे बढ़ता है। यह स्थिर रूप से निर्धारित होता है यदि इसमें अतिरिक्त समर्थन नहीं होते हैं जो अनिश्चितता को प्रस्तुत करेंगे।
• प्रोप्ड कैंटिलीवर बीम: एक बीम जो एक छोर पर स्थिर होता है और दूसरे छोर पर सरल रूप से समर्थित होता है। यह स्थिर रूप से अनिर्धारित है।
• निरंतर बीम: दो से अधिक समर्थनों वाला एक बीम। यह आम तौर पर स्थिर रूप से अनिर्धारित होता है।
• फिक्स्ड बीम: एक बीम जिसके दोनों सिरे स्थिर होते हैं। यह भी स्थिर रूप से अनिर्धारित है।

ओवरहैंगिंग बीम:

• एक ओवरहैंगिंग बीम एक प्रकार का बीम है जिसका एक या दोनों सिरे इसके समर्थन से आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार का बीम स्थिर रूप से निर्धारित होता है यदि इसमें अतिरिक्त समर्थन नहीं होते हैं जो अनिश्चितता को प्रस्तुत करेंगे। समर्थन पर प्रतिक्रियाओं का निर्धारण स्थिर संतुलन के तीन समीकरणों का उपयोग करके किया जा सकता है (∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑M = 0)।

व्याख्या:

स्थिर रूप से अनिश्चित बीम

परिभाषा: एक स्थिर रूप से अनिश्चित बीम एक संरचनात्मक तत्व है जो उन बाधाओं के अधीन है जिन्हें केवल स्थिर संतुलन समीकरणों द्वारा निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इसका मतलब है कि बीम में अपने संतुलन को बनाए रखने के लिए आवश्यक से अधिक समर्थन या प्रतिबंध हैं, जिससे अतिरिक्त प्रतिक्रियाएँ होती हैं जिनकी गणना केवल बुनियादी स्थैतिकी के माध्यम से नहीं की जा सकती है। इसके बजाय, इन प्रतिक्रियाओं को हल करने के लिए संगतता शर्तों, विक्षेपण गणनाओं या उन्नत संरचनात्मक विश्लेषण तकनीकों जैसी विधियों की आवश्यकता होती है।

अचल बीम: एक अचल बीम, जिसे क्लैम्प्ड बीम के रूप में भी जाना जाता है, एक प्रकार का बीम है जो दोनों सिरों पर दृढ़ता से स्थिर होता है। यह निर्धारण स्थिति समर्थन बिंदुओं पर घूर्णी और स्थानांतरीय दोनों बाधाओं को लागू करती है, जिसके परिणामस्वरूप एक बीम होता है जो अपने सिरों पर घूम या स्थानांतरित नहीं हो सकता है। इस प्रकार का बीम स्वाभाविक रूप से स्थिर रूप से अनिश्चित है क्योंकि अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या उपलब्ध स्थिर संतुलन समीकरणों की संख्या से अधिक है। विशेष रूप से, एक अचल बीम में चार अज्ञात प्रतिक्रियाएँ होती हैं: दो ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाएँ, एक क्षैतिज प्रतिक्रिया और दो आघूर्ण (प्रत्येक छोर पर एक), जबकि केवल तीन संतुलन समीकरण (∑Fx = 0, ∑Fy = 0, और ∑M = 0) उपलब्ध हैं। इसलिए, बीम के विक्षेपण या संगतता शर्तों से प्राप्त अतिरिक्त समीकरणों की आवश्यकता होती है अज्ञात प्रतिक्रियाओं को हल करने के लिए।

लाभ:

• स्थिर समर्थन स्थितियों के कारण कठोरता में वृद्धि और विक्षेपण में कमी, जिससे यह न्यूनतम विरूपण की आवश्यकता वाले अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है।
• भार वहन क्षमता में वृद्धि क्योंकि निश्चित सिरे अतिरिक्त आघूर्ण प्रतिरोध प्रदान करते हैं।

नुकसान:

• प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए अतिरिक्त संगतता शर्तों या विक्षेपण गणनाओं की आवश्यकता के कारण विश्लेषण और डिजाइन में जटिलता।
• निश्चित सिरों पर उच्च आंतरिक तनावों की संभावना, जिसके लिए सामग्री विफलता से बचने के लिए डिजाइन में सावधानीपूर्वक विचार की आवश्यकता हो सकती है।

अनुप्रयोग: अचल बीम आमतौर पर निर्माण और यांत्रिक संरचनाओं में उपयोग किए जाते हैं जहाँ उच्च कठोरता और न्यूनतम विक्षेपण वांछित होते हैं, जैसे पुलों, इमारतों और मशीन फ्रेम में।

अन्य विकल्पों के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी:

सरल रूप से समर्थित बीम: एक सरल रूप से समर्थित बीम दोनों सिरों पर समर्थित होता है, आमतौर पर एक छोर पर एक पिन समर्थन और दूसरे छोर पर एक रोलर समर्थन के साथ। यह व्यवस्था बीम को घूमने की अनुमति देती है लेकिन समर्थन पर स्थानांतरित नहीं होती है, जिससे यह स्थिर रूप से निर्धारित हो जाता है। समर्थन पर प्रतिक्रियाओं को केवल स्थिर संतुलन समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, अतिरिक्त संगतता शर्तों की आवश्यकता के बिना।

ओवरहैंगिंग बीम: एक ओवरहैंगिंग बीम एक या दोनों सिरों पर अपने समर्थन से आगे बढ़ता है। जबकि यह एक सरल रूप से समर्थित बीम की तुलना में अधिक जटिल प्रतीत हो सकता है, यह अभी भी स्थिर रूप से निर्धारित है यदि इसमें केवल दो समर्थन हैं (एक पिन और एक रोलर), क्योंकि प्रतिक्रियाओं को बुनियादी संतुलन समीकरणों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

कैंटीलीवर बीम: एक कैंटीलीवर बीम एक छोर पर स्थिर होता है और दूसरे छोर पर मुक्त होता है। यह स्थिर रूप से निर्धारित है क्योंकि निश्चित छोर पर प्रतिक्रियाओं (ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया, क्षैतिज प्रतिक्रिया और आघूर्ण) को संतुलन समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। विश्लेषण के संदर्भ में इसकी सादगी के बावजूद, कैंटीलीवर बीम आमतौर पर उन अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं जिनमें एक मुक्त छोर की आवश्यकता होती है, जैसे बालकनियों, ओवरहैंग्स और कुछ प्रकार के पुलों में।

व्याख्या:

• बंकन बल द्वारा भारित होने पर बीम इस प्रकार झुकता है जिससे आंतरिक सतह संपीडन में होती है और बाहरी सतह तनाव में होती है।
• उदासीन तल इन क्षेत्रों के बीच बीम में वह सतह होती है, जहाँ बीम का पदार्थ प्रतिबल के तहत (या तो संपीडन या तनाव) नहीं होता है।
• चूँकि उदासीन तल पर लम्बाई में कोई प्रतिबल बल नहीं होता है, इसलिए वहां कोई विकृति नहीं होता है, अतः जब बीम झुकता है, तो तटस्थ तल की लम्बाई स्थिर रहती है।
• उदासीन अक्ष एक बीम (बंकन का प्रतिरोध करने वाला सदस्य) या शाफ़्ट के अनुप्रस्थ-काट में अक्ष होता है जिसके साथ कोई अनुदैर्ध्य प्रतिबल या विकृति नहीं होता है।
• यदि अनुभाग सममित, समानुवर्ती होता है और झुकाव से पहले  नहीं होता है, तो उदासीन अक्ष ज्यामितीय केन्द्रक पर होता है।
• उदासीन अक्ष के एक पक्ष पर सभी फाइबर तनाव के अवस्था में होते हैं, जबकि विपरीत पक्ष पर वे संपीडन में होते हैं।

व्याख्या:

जब एक शुद्धालंब बीम की लंबाई के केंद्र में एक बिंदु भार, L के अधीन किया जाता है तो सिरों पर दो समान लंबवत प्रतिक्रियाओं, L / 2 उत्पन्न होगा।

इस बीम का बंकन आघूर्ण आरेख बनाकर, यह स्पष्ट रूप से इंगित किया गया है कि बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण बीम की लंबाई के केंद्र में होता है और इसका मान​ [(L/2) × (l/2)] या L × l/4 kN-m है 

स्पष्टीकरण:

भार: भार संरचना पर कार्य करने वाला एक बाहरी प्रयास है।

एकसमान भारण: वह भार जो या तो समान होता है या तत्व की लंबाई के साथ समान रूप से बदलता रहता है, उसे एकसमान भारण के रूप में दिया जाता है।

जहां, UDL = एकसमान रूप से वितरित भार, UVL = एकसमान रूप से परिवर्तनीय भार

स्थैतिक भारण: स्थैतिक भारण एक भार है जो समय के साथ नहीं बदलता है और सदस्य पर कोई कंपन और कोई गतिशील प्रभाव नहीं होगा।

गतिशील भारण: यदि लोड तेजी से बढ़ता है और समय के साथ बदलता है तो इसे गतिशील भारण कहा जाता है

⇒संघात भारण गतिशील भारण का एक उदाहरण है

क्लांत भार: क्लांत भारण मुख्य रूप से लोडिंग का प्रकार है जो किसी घटक पर लागू प्रतिबल या विकृति में चक्रीय भिन्नता का कारण बनता है। इस प्रकार कोई भी चर भारण मूल रूप से एक क्लांत भारण है।

क्लांत भार के तहत , दरारें और फ्रैक्चर के अचानक प्रसार के कारण सामग्री विफल हो जाती है

वर्णन:

माना कि RA और RB क्रमशः बिंदु A और B पर प्रतिक्रियाएँ हैं। 

∑ FY = 0

R_A + R_B = W, RB = W - RA

बिंदु B के चारों ओर आघूर्ण को संतुलित करने पर। 

∑ MA = 0

W × a = R_B × l

W × a = (W - R_A) × l

W × a = (W × l) - (R_A × l)

\(R_A = {W(l-a)\over l}\)

स्पष्टीकरण:

बीम एक संरचनात्मक सदस्य है ,जो उसके अक्ष पर अनुप्रस्थ भारण के अधीन है।

संतत बीम:

• यह हिंजित आलंब पर एक स्थैतिकतया अनिर्धार्य बहु-फैलाव वाली बीम है।
• अंत्य फैलाव कैंटीलीवर, स्वतंत्र रूप से आलम्बित या स्थिर आलंबित हो सकता है।
• यह एक बीम है जिसमें 2 से अधिक आलंब होते हैं।

स्थिर बीम:

• यह एक बीम है जिसके छोर को घूर्णन करने से प्रतिबंधित किया जाता है।
• यह आरेख एक स्थिर बीम को एकसमान रूप से वितरित भार के अधीन दिखाता है।
• यह स्थिर आलंब पर स्थैतिकतया अनिर्धार्य बीम है।

प्रलंबी बीम:

• इसे एक बीम के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके एक या दोनों छोर अपने आलंंबन से आगे प्रसार करते हैं।
• इसमें किसी भी संख्या में आलंबन हो सकते हैं।
• यह हिंजित आलंब पर एक स्थैतिकतया निर्धार्य बहु-फैलाव वाली बीम है।

शुद्धालम्ब धरन:

• एक शुद्धालंब धरन एक प्रकार का बीम होती है जिसके एक छोर पर आलंबन और दूसरे छोर पर एक रोलर आलंबन होता है।
• यह हिंजित आलंब पर एक स्थैतिकतया निर्धार्य बहु-फैलाव वाली बीम है।

टेकदार कैंटीलीवर बीम:

• टेकदार कैंटिलीवर बीम एक बीम है जिसमें एक छोर स्थिर होता है और दूसरा सिरा शुद्धालंबित होता है।
• यह स्थैतिकतया अनिर्धार्य बीम के अंतर्गत आती है।

कैंटीलीवर बीम: 

• एक छोर पर स्थिर और दूसरे छोर पर मुक्त बीम को कैंटिलीवर बीम के रूप में जाना जाता है।
• यह स्थैतिकतया निर्धार्य बीम के अंतर्गत आती है।

उपरोक्त से,

स्थैतिकतया निर्धार्य बीम

1. कैंटिलीवर बीम
2. शुद्धालंब धरन 
3. प्रलंबी धरन

स्थैतिकतया अनिर्धार्य बीम

1. टेकदार कैंटिलीवर बीम

2. स्थिर बीम

3. संतत बीम

गणना:-

दिया गया है:-

P = 20 kN, θ = 60° 

\(\cos \theta = \frac{{base}}{{{\rm{Hypotenuse}}}}\)

\(\cos \;60^\circ = \frac{{OX}}{{OP}}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{{OX}}{{20}}\)

OX = 10 kN

संकल्पना:

समतुल्यता स्थिति:

\(\sum {{\rm{F}}_{\rm{v}}} = 0{\rm{\;and\;}}\sum {{\rm{M}}_{\rm{P}}} = 0\)

गणना:

दिया गया है:

अब, हम जानते हैं कि

ऊर्ध्वाधर बलों को निम्न द्वारा संतुलित करने पर

\(\sum {{\rm{F}}_{\rm{v}}} = 0\)

R_P + R_Q = 0       ............ (1)

अब,

बिंदु 'P' के चारों ओर आघूर्ण लेने पर 

\(\sum {{\rm{M}}_{\rm{P}}} = 0\)

1 = R_Q × 1 ⇒ R_Q = 1 kN (ऊपर की ओर)

तो समीकरण (1) से, हमें निम्न प्राप्त होता है

R_P = 0 - 1 

∴ R_p = -1 kN = 1 kN (नीचे की ओर)

स्पष्टीकरण:-

एक बीम को स्थिर साम्यवास्था में कहा जाता है जब बीम शुरू में विराम पर होती है और बलों और बलयुग्म की एक प्रणाली के अधीन होने पर स्थिर रहती है।

आम तौर पर, एक समतल संरचना के लिए 3 साम्यवास्था समीकरण होते हैं।

शून्य परिणामी बल और शून्य परिणामी बलयुग्म की शर्तों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\(\sum Fx=0\;\)

\(\sum Fy=0\;\)

\(\sum Mz=0\;\)

जहां Fx क्षैतिज या x-अक्ष के अनुदिश बलों का प्रतिनिधित्व करता है, Fy  ऊर्ध्वाधर या y-अक्ष के अनुदिश बलों का प्रतिनिधित्व करता है, और Mz बीम पर किसी भी बिंदु के आसपास लिए गए आघूर्णों के योग का प्रतिनिधित्व करता है।

अनिर्धार्यता की डिग्री = अज्ञात बलों की कुल संख्या - संतुलित समीकरणों की कुल संख्या

उदा. स्थैतिकतया अनिर्धार्य बीम 

यहाँ, अज्ञात बलों की कुल संख्या = 7

संतुलित समीकरणों की कुल संख्या = 3

इसलिए, अनिर्धार्यता की डिग्री = 7 - 3 = 4, जो शून्य से अधिक है इसलिए यह एक सांख्यिकीय रूप से अनिर्धार्य संरचना है।

उदा. स्थैतिकतया निर्धार्य बीम 

यहाँ, अज्ञात बलों की कुल संख्या = 3

संतुलित समीकरणों की कुल संख्या = 3

इसलिए, अनिर्धार्यता की डिग्री = 3 - 3 = 0, इसलिए यह एक स्थैतिकतया निर्धार्य संरचना है। 

संकल्पना:

• ट्रस: सदस्यों से बना एक ढांचा एक रुक्ष संरचना बनाने के लिए उनके छोर पर जुड़े होते हैं।.
• समतलीय ट्रस: ट्रस के इन प्रकारों में सदस्य एकल तल में होते हैं। 
• एक समतलीय ट्रस का मूल तत्व एक त्रिभुज होता है अर्थात् तीन सदस्य तीन बिंदुओं पर जुड़े होते हैं। 
• एक समतलीय ट्रस के लिए चूँकि तीन अज्ञात समर्थन प्रतिक्रियाएँ हैं। इसलिए यदि m = 2j - 3 है, तो प्रणाली स्थैतिक रूप से निर्धारित होती है। 
• एक छोर पर कब्जेदार और दूसरे छोर पर रोलर पर समर्थित एक ट्रस को नीचे दी गयी आकृति में दर्शाया गया है। 
• इसलिए, कब्जेदार छोर A पर शुद्ध परिणामी प्रतिक्रिया निम्न है,
• \(R=\sqrt{V_A^2+V_B^2}\) अर्थात् कब्जेदार छोर पर प्रतिक्रिया क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर की परिणामी होगी। 

परिणामी बल के लिए रिज़ोलुशन के लिए विधि:

• सभी बलों को क्षैतिज रूप से हल करें और क्षैतिज घटकों का बीजगणितीय योग ज्ञात करें।
• सभी बलों को लंबवत रूप से हल करें और लंबवत घटकों का बीजगणितीय योग पाएं।

उपरोक्त दोनों का परिणाम नीचे दिया जा सकता है,

\(R = \sqrt {{{\left( {\sum H} \right)}^2} + {{\left( {\sum V} \right)}^2}} \)

परिणामी बल क्षैतिज के साथ एक कोण बनाएगा, जैसा निम्न रूप से दिया जा सकता है,

\(tan\theta = \frac{{\sum V}}{{\sum H}}\)

वर्णन:

बीम के विभिन्न प्रकार निम्नवत हैं:

कैंटीलीवर बीम:

 एक छोर पर नियत और दूसरे छोर पर मुक्त एक बीम को एक कैंटीलीवर बीम के रूप में जाना जाता है।

साधारण रूप से समर्थित बीम: 

एक बीम जो इसके दोनों छोर पर समर्थित है, उसे साधारण रूप से समर्थित बीम के रूप में जाना जाता है।

नियत बीम: 

एक बीम जिसके दोनों छोर नियत होते हैं, उसे नियत बीम के रूप में जाना जाता है।

निरंतर बीम: 

एक बीम जो दो से अधिकतम समर्थनों पर समर्थित है, उसे निरंतर बीम के रूप में जाना जाता है।

प्रलंबी बीम: 

एक बीम जिसका छोर समर्थन के आगे फैला हुआ होता है, उसको प्रलंबी बीम के रूप में जाना जाता है। एक बीम एक पक्ष पर या दोनों पक्ष पर प्रलंबी हो सकती है।

अवलंब बाहुधारक बीम:

अवलंब बाहुधारक बीम एक छोर पर निर्दिष्ट और दूसरे छोर पर साधारण रूप से समर्थित बीम होता है। 

यह स्थैतिक रूप से अनिश्चित बीम के तहत आता है। 

स्पष्टीकरण :

सकेंद्रित भार:

• भार जो भारित सदस्य के आकार की तुलना में अपेक्षाकृत छोटे क्षेत्र पर लागू होता है।

एकसमान रूप से वितरित भार:

• एकसमान रूप से वितरित भार एक भार है जो किसी तत्व के पूरे क्षेत्र जैसे कि बीम या स्लैब में वितरित या फैला हुआ है।
• दूसरे शब्दों में, भार का परिमाण पूरे तत्व में एक एकसमान रहता है।
• बीम का भार एकसमान रूप से वितरित भार का एक उदाहरण है ।

रैखिक रूप से भिन्न भार:

• एक रैखिक भिन्न भार वह है जो बीम पर इस तरह फैला हुआ है कि लोडिंग की दर बीम के साथ प्रत्येक बिंदु से भिन्न होती है, जिसमें भार एक छोर पर शून्य होता है और दूसरे छोर तक एकसमान रूप से बढ़ता है।
• इस प्रकार के भार को त्रिकोणीय भार के रूप में जाना जाता है ।

भिन्न भार:

• भार में इस प्रकार परिवर्तन किया जाता है कि यह किसी बिंदु पर अधिकतम और अन्य बिंदु पर न्यूनतम हो
• यह समान रूप से भिन्न नहीं है।