Contour Integral & Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Contour Integral & Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\(\oint_C \frac{e^z}{z-1} dz \) जहाँ C शीर्षों 0, \(\frac{1}{4} \), और \(\frac{i}{2} \) वाला त्रिकोणीय कंटूर है।

फलन \(f(z) = \frac{e^z}{z-1} \) का z = 1 पर एक विचित्रता है, जो एक एकघात अनंतक है।

अवशेष प्रमेय को लागू करने के लिए, हम जाँच करते हैं कि क्या z = 1 त्रिकोणीय कंटूर के अंदर स्थित है।

दिए गए कंटूर के शीर्ष हैं: \(0 , \frac{1}{4} \) (जो वास्तविक अक्ष पर 0.25 है) और \(\frac{i}{2} \) (जो काल्पनिक अक्ष पर 0.5 है)।

चूँकि z = 1 इस त्रिकोणीय क्षेत्र के बाहर है, इसलिए कंटूर विचित्रता को परिबद्ध नहीं करती है।

कौशी के अवशेष प्रमेय को लागू करें:

चूँकि विचित्रता z = 1 कंटूर के बाहर है, इसलिए समाकल का मान शून्य होगा:

\(\oint_C \frac{e^z}{z-1} dz = 0 \)

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

सामान्यीकृत कौशी समाकल सूत्र:

एक सरल संवृत कंटूर C के अंदर और पर एक विश्लेषिक फलन f(z) के लिए, और C के अंदर किसी भी बिंदु a के लिए:

\(\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz = \frac{2\pi i}{(n-1)!} f^{(n-1)}(a), \quad n \geq 1 \)

व्याख्या:

इस सूत्र को लागू करें:

यहाँ, हमें समाकल दिया गया है: \(\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^2} dz \)

सूत्र से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि n = 2 है, इसलिए हम उपयोग करते हैं:

\(\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^2} dz = \frac{2\pi i}{(2-1)!} f^{(2-1)}(a) = 2\pi i f'(a)\)

चूँकि 1! = 1 है, हमें मिलता है:

\(\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^2} dz = 2\pi i f'(a) \)

f'(z) के पदों में समाकल को पुन: लिखने पर:

अब हम f'(a) के लिए कौशी का समाकल सूत्र उपयोग करते हैं:

\(f'(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f'(z)}{z-a} dz \)

\(2\pi i\) से दोनों पक्षों को गुणा करने पर, हमें मिलता है:

\(2\pi i f'(a) = \oint_C \frac{f'(z)}{z-a} dz \)

अब, इसे हमारे दिए गए समाकल परिणाम से तुलना करने पर:

\(\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^2} dz = 2\pi i f'(a) \) ,

हम देखते हैं कि यह बिलकुल सुमेलित है:

\(\oint_C \frac{f'(z)}{z-a} dz \)

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

व्याख्या:

\(\oint_C \frac{z^2}{(z - 1)(z - 4)} dz \) जहाँ C वृत्त |z| = 2 है

इस फलन के दो विचित्रताएँ (अनंतक) z = 1 और z = 4 पर हैं

z = 1, वक्र |z| = 2 के अंदर है। 

z = 4, वक्र |z| = 2 के बाहर है। 

चूँकि कंटूर समाकलन केवल कंटूर के अंदर विचित्रताओं पर निर्भर करता है, इसलिए हम केवल z = 1 पर अवशेष पर विचार करते हैं

z = 1 पर \(f(z) = \frac{z^2}{(z - 1)(z - 4)} \) का अवशेष ज्ञात करने के लिए, हम इसे इस रूप में व्यक्त करते हैं:

अवशेष = \(\lim_{z \to 1} (z - 1) f(z) \)

(z - 1) से गुणा करने पर, हमें मिलता है: \(\lim_{z \to 1} \frac{z^2}{z - 4} \)

z = 1 को प्रतिस्थापित करने पर:

\(\frac{1^2}{1 - 4} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}v \)

अवशेष प्रमेय द्वारा,

\(\oint_C f(z) dz = 2\pi i \times {Residue \quad at } \quad z = 1 \)

\(= 2\pi i \times \left(-\frac{1}{3} \right) = -\frac{2\pi i}{3} \)

इस प्रकार, सही उत्तर \( \frac{-2\pi i}{3} \) है। 

इसलिए विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

कौशी का समाकलन प्रमेय:

मान लीजिए f(z) एक ऐसा फलां है, जो सरल रूप से संबद्ध प्रांत D में विश्लेषणात्मक है। यदि C एक सरल बंद समोच्च है, जो पूर्णतः D के भीतर स्थित है, तो \(\oint_C f(z) \, dz = 0 \) है।}

कौशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए कि f(z) पृथक विलक्षणताओं \(z_1, z_2, \dots, z_n \) को छोड़कर प्रांत D में विश्लेषणात्मक है।

यदि C इन एकलताओं को घेरने वाला एक सरल संवृत्त समोच्च है, तो

\(\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)\)

जहाँ Res(f, z _k ) z _k पर f(z) के अवशेष को दर्शाता है। 

गणना:

⇒ \(f(z) = \frac{z^2 + 6z + 2}{z - 2} \) z = 2 पर एक सरल ध्रुव है। 

⇒ \( \text{Res}\left( \frac{z^2 + 6z + 2}{z - 2}, 2 \right) = \lim_{z \to 2} (z - 2) \cdot \frac{z^2 + 6z + 2}{z - 2} = \lim_{z \to 2} \left( z^2 + 6z + 2 \right) \)

⇒ व्यंजक में z = 2 प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ \( \text{Res} = 2^2 + 6 \cdot 2 + 2 = 4 + 12 + 2 = 18 \)

⇒ \( \int_C \frac{z^2 + 6z + 2}{z - 2} \, dz = 2\pi i \cdot 18 = 36\pi i \)

A असत्य है।

कौशी समाकलन प्रमेय के अनुसार, R सत्य है।

अतः विकल्प 4 सही है।

व्याख्या:

चूँकि \(\frac{3z^2+7z+1}{z+1}\) का एकलता बिंदु z= -1 पर है, जो \(\rm |z|=\frac{1}{2}\) के बाहर है।

इसलिए यह फलन \(\rm |z|=\frac{1}{2}\) के अंदर विश्लेषणात्मक है और \(\int_{\gamma}fd{\gamma} =0 \)

\(\gamma\) के अंदर विश्लेषणात्मक फलन f के लिए,

अतः \(\rm \int_c\frac{3z^2+7z+1}{z+1}dz\) = 0

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

व्याख्या:

C मूल के केंद्र पर 3 त्रिज्या का सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त हो।

\(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) के विलक्षणताएँ निम्न द्वारा दी गई हैं

z² = 0 ⇒ z = 0 और

e^z - e^-z = 0 ⇒ ez = e-z ⇒ z = 0

अब,

\(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = \(\frac{1}{z^2}(e^z-e^{-z})^{-1}\)

= \(\frac{1}{z^2}(2z+\frac{2z^3}{3!}+\frac{2z^5}{5!}+...)^{-1}\) (ez - e-z का विस्तार)

= \(\frac{1}{z^2}.\frac{1}{2z}(1+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}+...))^{-1}\)

= \(\frac{1}{2z^3}(1-(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)^2+...)\) ((1 + x)^-1 का विस्तार)

इसलिए \(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) का अवशेष = 1/z का गुणांक = \(\frac12.(-\frac{1}{3!})=-\frac1{12}\)

अतः \(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = 2πi(अवशेषों का योग) = \(-\frac{2\pi i}{12}\) = −iπ/6

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

व्याख्या:

C मूल के केंद्र पर 3 त्रिज्या का सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त हो।

\(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) के विलक्षणताएँ निम्न द्वारा दी गई हैं

z² = 0 ⇒ z = 0 और

e^z - e^-z = 0 ⇒ ez = e-z ⇒ z = 0

अब,

\(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = \(\frac{1}{z^2}(e^z-e^{-z})^{-1}\)

= \(\frac{1}{z^2}(2z+\frac{2z^3}{3!}+\frac{2z^5}{5!}+...)^{-1}\) (ez - e-z का विस्तार)

= \(\frac{1}{z^2}.\frac{1}{2z}(1+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}+...))^{-1}\)

= \(\frac{1}{2z^3}(1-(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)^2+...)\) ((1 + x)^-1 का विस्तार)

इसलिए \(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) का अवशेष = 1/z का गुणांक = \(\frac12.(-\frac{1}{3!})=-\frac1{12}\)

अतः \(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = 2πi(अवशेषों का योग) = \(-\frac{2\pi i}{12}\) = −iπ/6

विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

यदि f(z) एक सरल बंद वक्र C के भीतर और उस पर एक वैश्लेषिक फलन है और यदि a, C के भीतर कोई बिंदु है, तो

f(a) = \(\frac{1}{2π i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\)dz

यहाँ, समाकल को C के समीप धनात्मक अर्थ में लिया जाना चाहिए।

हल - दिया गया है, फलन

f(z) = \(\frac{(\log z)^3}{z^2+1} \)

और फलन की z = i, z = - i पर अव्युत्क्रमणीयता है

C : {z : |z - i| < 1} 

इसलिए z = - i वक्र पर नहीं है और z = i वक्र के अंदर स्थित है

अतः

I = 2πi × \( \lim_{z\rightarrow i}(z-i) \frac{(logz)^3}{(z+i)(z-i)}\) = 2πi \( \lim_{z\rightarrow i}\frac{(\log z)^3}{(z+i)}\) = 2πi \(\frac{1}{2i}(\log i)^3\) = π (log i)³

अब, log (i) = log 1 + i tan^-1(1/0) = 0 + i\(\frac{π}{2}\) = i\(\frac{π}{2}\)

अतः I = π\((\frac{iπ}{2})^2\) = \(\frac{π^4i}{-8}\)

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है)।

स्पष्टीकरण:

\(\rm \int_{|z|=6}\left(\frac{e^{2 i z}}{z^4}-\frac{z^4}{(z-i)^3}\right) d z\)

विलक्षणताएँ 0 हैं, i वक्र |z| = 6 में स्थित है 

माना f(z) = e^2iz, g(z) = z⁴

इसलिए कॉची समाकलन सूत्र का प्रयोग करने पर

\(\rm \int_{|z|=6}\left(\frac{e^{2 i z}}{z^4}-\frac{z^4}{(z-i)^3}\right) d z\)

= 2πi(\(\frac{f^3(0)}{3!}\) - \(\frac{g^2(i)}{2!}\)) 

= 2πi(\(\frac{(2i)^3}{6}\) - \(\frac{12i^2}{2}\))

= 2πi(- \(\frac{8i}{6}\)+6)

= \(\rm \frac{8 \pi}{3}+12 \pi i \)

(3) सही है

हल - 

विकल्प 1- विवृत्त वक्र वे वक्र होते हैं, जो सभी ओर से से परिबद्ध नहीं होते हैं।

विकल्प 2- घंटी के आकार का वक्र 

विकल्प 3- यदि समोच्च संवृत्त है और स्व-प्रतिच्छेद नहीं करता है, तो इसे जॉर्डन वक्र कहा जाता है।

विकल्प 4- बाइनरी एक संक्रिया है, जिसका उपयोग हम बीजगणित में करते हैं।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 3 है।