Middle term MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Middle term - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

द्विपद प्रसार:

• द्विपद प्रमेय का उपयोग के रूप के व्यंजकों के प्रसार के लिए किया जाता है।
• के प्रसार में सामान्य पद द्वारा दिया जाता है, जहाँ ⁿC_k द्विपद गुणांक है।
• का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम प्रसार से संबंधित पदों की पहचान करते हैं और गुणांक को 35 के बराबर सेट करते हैं।

गणना:

के प्रसार को दिया गया है, हमारे पास है:

प्रसार में x³ का गुणांक 35 है।

हम x³ पद के लिए द्विपद प्रसार सूत्र का उपयोग करते हैं

⇒ (p+ q)_c3 = 35 = ⁷C₃

⇒ p+q =7

∴ सही उत्तर विकल्प C है। 

अवधारणा:

• (a + b)n के द्विपद प्रसार में सामान्य पद दिया गया है:
• यदि sin θ = sin α ⇒ θ =

गणना:

दिया गया है,  के मध्य पद का मान है।

चूँकि, n = 10

⇒ मध्य पद = पद = 6^वाँ पद

∴ T₆ = T₅₊₁

=

⇒ =

⇒ = sin⁵x

⇒ = 252 sin5x

⇒ sin5x =

⇒ sin x = = sin

∴ x =

अवधारणा:

सामान्य पद: (a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

1. जब n सम है, तब मध्य पद = 

2. जब n विषम है, तो मध्य पद  और 

दी गई अभिव्यक्ति (2x - 3)8 के लिए , n = 8 (सम)

∴  मध्य  पद  = T₅ होगा जो कि 5 वां पद है ।

अवधारणा:

(a - b)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है,

• जब n सम है, तब मध्य पद = वाँ  पद है।
• जब n विषम है, तो मध्य पद = वाँ  पद और वाँ  पद

गणना:

 के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है,

यहाँ, n = 11 है (यानी, विषम), इसलिए दो मध्य पद होंगे

 वाँ  पद = 6वाँ  पद और वाँ  पद = 7वाँ  पद

∴  

= -462 x

और,   

= 462/x

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n  के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात्  औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = 

T6 = T (5 + 1) = 10C5 × (x) (10 - 5) × 

T5 = -2⁵ × 10C5

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = 

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × 

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद  पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद  पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  and  = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) ×   और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) ×  

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × 

T3 = 80x और  T4 = 

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और  है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी  पद मध्य पद है।

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी और  दो मध्य पद हैं।

(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)

गणना:

दिया गया है:

(1 + 4x + 4x2)5

⇒ [(1 + 2x)2]5

⇒ (1+ 2x)10

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = =  6th पद 

मध्य पद, T6 =  T5 + 1 =  ¹⁰C₅ (1)⁵ (2x)⁵

⇒ ×  32x5

⇒ 8064 x5

∴ (1 + 4x + 4x2)5  के विस्तार में मध्य पद का गुणांक 8064 है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर निर्भर (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो यहाँ केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो यहाँ दो मध्य पद हैं अर्थात्और   दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पद को ज्ञात करना हैं। 

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = 

T₆ = T (5 + 1) = ¹⁰C₅ × (x) (10 - 5) × 

T₆ =  ¹⁰C5

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

(x + y)n के विस्तार में पदों की संख्या (n + 1) है। 

अंत से (n + 1)वां पद पहला पद है और nवां पद दूसरा पद है। 

गणना:

  के विस्तार में एक विस्तार के अंत से nवां पद दूसरा पद है। 

T_r+1 = ⁿC_r (2x)^{(n - r)} 

T₂ =  ⁿC₁.(2x)^{(n - 1)} 

= 

= 

= 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n  के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात्  औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = 

T6 = T (5 + 1) = 10C5 × (x) (10 - 5) × 

T5 = -2⁵ × 10C5

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के प्रसार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

मध्य पद:  (x + y) n के प्रसार में मध्य पद  n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है,तो यहाँ केवल एक मध्य पद होगा अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।
• यदि n विषम है,तो यहाँ दो मध्य पद होगें अर्थात् और  दो मध्य पद होगें।

गणना:

यहाँ, हमें के प्रसार में मध्य पद को ढूँढना है

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद  = 

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × 

T₅ =  8C₄

अवधारणा:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 

यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् औरदो मध्य पद हैं।

गणना:

दी गई अभिव्यक्ति  के लिए n = 10 (सम)।

∴ केंद्रीय पद  = T6 = 10C5 (2x)10-5

= - 10C5 

अवधारणा:

द्विपद विस्तार:

• (a + b)ⁿ = C₀ aⁿ b⁰ + C₁ a^n-1 b¹ + C₂ a^n-2 b² + … + C_r a^n-r b^r + … + C_n-1 a¹ b^n-1 + C_n a⁰ bⁿ, जहाँ C₀, C_1, …, C_n रूप में परिभाषित द्विपद गुणांक हैं: C_r = ⁿC_r =
• विस्तार में पदों की कुल संख्या n + 1 है।
• विस्तार में (r + 1)^वां पद T_r+1 = C_r a^n-r b^r है।
• यदि n सम है, तो केंद्रीय पद  है और यदि n विषम है, तो  और  दोनों मध्य पद हैं।

गणना:

दी गई अभिव्यक्ति में n = 11 (विषम)

∴ दो मध्य पद हैं:  = 6ठा और  = 7वां पद

T₆ = C5  = -14784

T₇ = C6  = 29568