Quadratic Forms, Correlation Coefficients MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Forms, Correlation Coefficients - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 20, 2025
Latest Quadratic Forms, Correlation Coefficients MCQ Objective Questions
Quadratic Forms, Correlation Coefficients Question 1:
मानें कि i = 1, 2, …, 2n, n ≥ 1 के लिए Xi स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जहां प्रत्येक N (0, 1) के अनुसार बंटित है। निम्न वक्तव्यों में से कौन-से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Forms, Correlation Coefficients Question 1 Detailed Solution
संकल्पना:
यदि X, Y ∼ N(0, 1) तो E(max(|X|, |Y|)) = \(\frac{2\sqrt{1-ρ}}{\sqrt\pi}\) जहाँ ρ सहसंबंध गुणांक है।
व्याख्या:
Xi ∼ N(0, 1) और Xi स्वतंत्र हैं इसलिए ρ = 0, E(Xi) = 0,
Var(Xi) = 1
इसलिए E[max (|X1|, |Xn+1|)] = \(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\)
विकल्प (3) सही है
(1): n = 2 के लिए Y = \(\frac{X_1+X_2}{2}\) तो
E(Y) = \(\frac12(E(X_1)+E(X_2))\) = 0 (चूँकि E(Xi) = 0)
Var(Y) = \(\frac14(Var(X_1)+Var(X_2))\) = \(\frac14(1+1)\) = \(\frac12\)
इसलिए यह N(0, 1) का पालन नहीं करता है
विकल्प (1) गलत है
(2): n = 2 के लिए Y = \(\frac{X_1+X_2}{\sqrt2}\) तो
E(Y) = \(\frac1{\sqrt2}(E(X_1)+E(X_2))\) = 0 (चूँकि E(Xi) = 0)
Var(Y) = \(\frac12(Var(X_1)+Var(X_2))\) = \(\frac12(1+1)\) = 1
इसलिए यह N(0, 1) का पालन करता है
इसलिए Y स्वतंत्रता की डिग्री 1 के साथ ची वितरण है
इसलिए Y ∼ \(\rm\chi_1^2\)
⇒ (X1 − X2)2 ∼ \(2\rm\chi_1^2\)
इसलिए हम यह भी सत्यापित कर सकते हैं कि
(X1 − X2)2 + (X3 − X4)2 + … + (X2n−1 − X2n)2 ∼ \(2\rm\chi_n^2\)
विकल्प (2) सही है।
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Quadratic Forms, Correlation Coefficients Question 2:
मानें कि i = 1, 2, …, 2n, n ≥ 1 के लिए Xi स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जहां प्रत्येक N (0, 1) के अनुसार बंटित है। निम्न वक्तव्यों में से कौन-से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Forms, Correlation Coefficients Question 2 Detailed Solution
संकल्पना:
यदि X, Y ∼ N(0, 1) तो E(max(|X|, |Y|)) = \(\frac{2\sqrt{1-ρ}}{\sqrt\pi}\) जहाँ ρ सहसंबंध गुणांक है।
व्याख्या:
Xi ∼ N(0, 1) और Xi स्वतंत्र हैं इसलिए ρ = 0, E(Xi) = 0,
Var(Xi) = 1
इसलिए E[max (|X1|, |Xn+1|)] = \(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\)
विकल्प (3) सही है
(1): n = 2 के लिए Y = \(\frac{X_1+X_2}{2}\) तो
E(Y) = \(\frac12(E(X_1)+E(X_2))\) = 0 (चूँकि E(Xi) = 0)
Var(Y) = \(\frac14(Var(X_1)+Var(X_2))\) = \(\frac14(1+1)\) = \(\frac12\)
इसलिए यह N(0, 1) का पालन नहीं करता है
विकल्प (1) गलत है
(2): n = 2 के लिए Y = \(\frac{X_1+X_2}{\sqrt2}\) तो
E(Y) = \(\frac1{\sqrt2}(E(X_1)+E(X_2))\) = 0 (चूँकि E(Xi) = 0)
Var(Y) = \(\frac12(Var(X_1)+Var(X_2))\) = \(\frac12(1+1)\) = 1
इसलिए यह N(0, 1) का पालन करता है
इसलिए Y स्वतंत्रता की डिग्री 1 के साथ ची वितरण है
इसलिए Y ∼ \(\rm\chi_1^2\)
⇒ (X1 − X2)2 ∼ \(2\rm\chi_1^2\)
इसलिए हम यह भी सत्यापित कर सकते हैं कि
(X1 − X2)2 + (X3 − X4)2 + … + (X2n−1 − X2n)2 ∼ \(2\rm\chi_n^2\)
विकल्प (2) सही है।