Real Number System MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Real Number System - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 16, 2025
Latest Real Number System MCQ Objective Questions
Real Number System Question 1:
गलत कथन है -
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
हम जानते हैं कि दो अवमुख समुच्चयों का योग अवमुख समुच्चय होता है। साथ ही, दो अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ भी उत्तल समुच्चय होता है।
इसलिए, (1), (2), (4) सही हैं।
लेकिन दो उत्तल समुच्चयों का सम्मिलन उत्तल समुच्चय नहीं हो सकता है।
विकल्प (3) गलत है।
Real Number System Question 2:
यदि x और y कोई दो घनात्मक राशिया है तथा x > 0, तब आर्कमिडीज प्रगुण के अनुसार एक पूर्णांक n इस प्रकार है कि
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
आर्किमिडीयन गुणधर्म कहता है कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं x > 0 और y के लिए,
एक धनात्मक पूर्णांक n का अस्तित्व होता है जिससे nx > y
इसका मतलब है कि किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, आप हमेशा एक पूर्णांक
n ज्ञात कर सकते हैं, जिसे x से गुणा करने पर, किसी भी दी गई संख्या y से अधिक हो जाएगा।
सही विकल्प विकल्प 2 है।
Real Number System Question 3:
n ∈ ℕ के लिए, निम्न में से कौन - सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
हमारे पास \(√{n+1}-√{n} \) है
आइए संयुग्म का उपयोग करें:
= \(\frac{(√{n+1}-√{n})(√{n+1}+√{n}) }{(√{n+1}+√{n})}\)
\(=\frac{n+1-n}{(√{n+1}+√{n})}\)
\(=\frac{1}{(√{n+1}+√{n})} \le \frac{1}{2√{n}} \le \frac{1}{√{n}} \ \ \forall n\)
अतः विकल्प (2) सही है।
Real Number System Question 4:
मान लीजिए x एक वास्तविक संख्या है। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
x एक वास्तविक संख्या है
(1): n2 sin\(\frac{1}{n}\) → ∞ जैसे n → ∞
अतः, एक पूर्णांक n ≥ 1 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n 2 sin \(\frac{1}{n}\) ≥ x है।
(1) सत्य है।
(2): n 2 cos \(\frac{1}{n}\) → ∞ जैसे n → ∞
अतः, एक पूर्णांक n ≥ 1 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n 2 cos \(\frac{1}{n}\) ≥ x है।
(2) सत्य है।
(3): ne -n → 0 जैसे n → ∞ है
इसलिए, बड़े n के लिए, ne-n, x से बड़ा नहीं होगा
n = 1000 के लिए, ne - n , x से बड़ा नहीं है।
(3) असत्य है।
(4): n(log n)-1 = n/(log n) → → ∞ जैसे n → ∞
अतः एक पूर्णांक n ≥ 2 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n(log n) -1 ≥ x है।
(4) सत्य है।
Real Number System Question 5:
माना कि \(\mathbb{N}\) = {1, 2, 3, ...} प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। निम्न में से कौन से फलन \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) से \(\mathbb{N}\) तक एकैक हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
एक फलन f: \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) → \(\mathbb{N}\) को एकैक कहा जाता है यदि (m1, n1) ≠ (m2, n2) इस प्रकार है कि (m1, n1), (m2, n2) ∈ \(\mathbb{N}\) × \(\mathbb{N}\) के लिए, f((m1, n1)) ≠ f(m2, n2) है।
व्याख्या:
(1): f1(m, n) = 2m 3n
मान लीजिए (m1, n1), (m2, n2) ∈ \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) इस प्रकार हैं कि
f1(m1, n1) = f1(m2, n2)
⇒ 2m1 3n1 = 2m2 3n2
⇒ 2m1-m2 = 3n2 -n1
⇒ m1 - m2 = n2 - n1 = 0
⇒ m1 = m2 और n2 = n1
⇒ (m1, n1) = (m2, n2)
विकल्प (1) सही है।
(2): f2(m, n) = m2 + m + n
(-1, 1) ≠ (0, 1)
लेकिन f2(-1, 1) = 1 - 1 + 1 = 1 और f2(0, 1) = 0 + 0 + 1 = 1
इसलिए, f2(-1, 1) = f2(0, 1) एकैक नहीं है।
विकल्प (2) गलत है।
(3): f3(m, n) = m3 + n3
(-1, 1) ≠ (0, 1)
लेकिन f3(1, 0) = 13 + 03 = 1 और f3(0, 1) = 03 + 13 = 1
इसलिए, f3(1, 0) = f3(0, 1) एकैक नहीं है।
विकल्प (3) गलत है।
(4): f4(m, n) = m n3
लेकिन f4(1, 1) = (1)(13) = 1 और f4(-1, -1) = (-1)(-1)3 = 1
इसलिए, f4(1, 1) = f4(-1, -1) एकैक नहीं है।
विकल्प (4) गलत है।
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Real Number System Question 6:
मान लीजिए x एक वास्तविक संख्या है। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 6 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
x एक वास्तविक संख्या है
(1): n2 sin\(\frac{1}{n}\) → ∞ जैसे n → ∞
अतः, एक पूर्णांक n ≥ 1 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n 2 sin \(\frac{1}{n}\) ≥ x है।
(1) सत्य है।
(2): n 2 cos \(\frac{1}{n}\) → ∞ जैसे n → ∞
अतः, एक पूर्णांक n ≥ 1 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n 2 cos \(\frac{1}{n}\) ≥ x है।
(2) सत्य है।
(3): ne -n → 0 जैसे n → ∞ है
इसलिए, बड़े n के लिए, ne-n, x से बड़ा नहीं होगा
n = 1000 के लिए, ne - n , x से बड़ा नहीं है।
(3) असत्य है।
(4): n(log n)-1 = n/(log n) → → ∞ जैसे n → ∞
अतः एक पूर्णांक n ≥ 2 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n(log n) -1 ≥ x है।
(4) सत्य है।
Real Number System Question 7:
मान लीजिए कि \(\mathbb{N}\) = {1, 2, 3, ...} प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। निम्न में से कौन से फलन \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) से \(\mathbb{N}\) तक एकैक हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
विकल्प (2)
f2(1, 2) = 1.2 + 1 + 2 = 5
f2(2, 1) = 2.1 + 2 + 1 = 5
इसलिए f2(1, 2) = f2(2, 1) ⇒ f2(m, n) एकैक नहीं है।
विकल्प (2) - असत्य है।
विकल्प (3)
f3(8, 1) = 82 + 13 = 65 = f3(1, 4) = 12 + 43
⇒ f3(8, 1) = f3(1, 4) ⇒ f3(m, n) एकैक नहीं है।
विकल्प (3) - असत्य है।
विकल्प (4)
f4(1, 4) = 12 x 43 = 64
f4(8, 1) = 82 x 13 = 64
⇒ f4(1, 4) = f4(8, 1) ⇒ f4(m, n) एकैक नहीं है।
विकल्प (4) - असत्य है।
विकल्प (1)
f1(m, n) = 2m 3n
मान लीजिए f1(m1, n1) = f1(m2, n2)
⇒ 2m1 x 3n1 = 2m2 x 3n2
⇒ m1 = m2 और n1 = n2
⇒ (m1, n1) = (m2, n2)
इसलिए, f1(m, n) = 2m 3n एकैक है।
विकल्प (1) - सत्य है।
Real Number System Question 8:
यदि x और y कोई दो घनात्मक राशिया है तथा x > 0, तब आर्कमिडीज प्रगुण के अनुसार एक पूर्णांक n इस प्रकार है कि
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
आर्किमिडीयन गुणधर्म कहता है कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं x > 0 और y के लिए,
एक धनात्मक पूर्णांक n का अस्तित्व होता है जिससे nx > y
इसका मतलब है कि किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, आप हमेशा एक पूर्णांक
n ज्ञात कर सकते हैं, जिसे x से गुणा करने पर, किसी भी दी गई संख्या y से अधिक हो जाएगा।
सही विकल्प विकल्प 2 है।
Real Number System Question 9:
n ∈ ℕ के लिए, निम्न में से कौन - सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 9 Detailed Solution
व्याख्या:
हमारे पास \(√{n+1}-√{n} \) है
आइए संयुग्म का उपयोग करें:
= \(\frac{(√{n+1}-√{n})(√{n+1}+√{n}) }{(√{n+1}+√{n})}\)
\(=\frac{n+1-n}{(√{n+1}+√{n})}\)
\(=\frac{1}{(√{n+1}+√{n})} \le \frac{1}{2√{n}} \le \frac{1}{√{n}} \ \ \forall n\)
अतः विकल्प (2) सही है।
Real Number System Question 10:
दिया गया है कि |x|, |y| ≤ 2 है, जहाँ x, y वास्तविक हैं और |x| ≠ lyl, हम बताते हैं कि
A. \(\left|x^2-y^2\right| \geq 1\) यदि और केवल यदि \(|x+y||x-y| \geq 1\) ,
B. \(|x+y||x-y| \geq 1\) यदि और केवल यदि \(|x-y| \geq \frac{1}{|x+y|}\)
C. \(|x-y| \geq \frac{1}{|x+y|}\) यदि और केवल यदि \(|x-y| \geq \frac{1}{|x|+|y|}\)
D. \(|x-y| \geq \frac{1}{|x|+|y|}\) यदि और केवल यदि \(|x-y| \geq \frac{1}{4}\)
तब सही विकल्प का चयन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गयाहै कि |x|, |y| ≤ 2 है, जहाँ x, y वास्तविक हैं और |x| ≠ lyl,
अब \(x=\frac{4}{5}\) और \(y=\frac{-3}{5}\) लेने पर,
अब \(|x-y|=|\frac{4}{5}-(\frac{-3}{5})|=\frac{7}{5}\)
और \(\frac{1}{|x|+|y|}\) = \(\frac{1}{|\frac{4}{5}|+|\frac{-3}{5}|}=\frac{5}{7}\)
और \( \frac{1}{|x+y|}\) \(= \frac{1}{|\frac{4}{5}+\frac{-3}{5}|}=5\) तो यहाँ कथन C और D गलत हैं।
और चूँकि \(|ab|=|a|\times|b| \) इसलिए
\(\left|x^2-y^2\right| \geq 1\) ⇔ \(|(x+y)(x-y)| \geq 1\) ⇔ \(|x+y||x-y| \geq 1\)
विकल्प A सही है।
और चूँकि \(|a| \neq |b|\implies|a+b|>0\) इसलिए,
\(|x+y||x-y| \geq 1\) ⇔ \(|x-y| \geq \frac{1}{|x+y|}\)
विकल्प B भी सही है।
इसलिए सही उत्तर विकल्प: 3 है।
Real Number System Question 11:
गलत कथन है -
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 11 Detailed Solution
व्याख्या:
हम जानते हैं कि दो अवमुख समुच्चयों का योग अवमुख समुच्चय होता है। साथ ही, दो अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ भी उत्तल समुच्चय होता है।
इसलिए, (1), (2), (4) सही हैं।
लेकिन दो उत्तल समुच्चयों का सम्मिलन उत्तल समुच्चय नहीं हो सकता है।
विकल्प (3) गलत है।
Real Number System Question 12:
माना कि \(\mathbb{N}\) = {1, 2, 3, ...} प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। निम्न में से कौन से फलन \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) से \(\mathbb{N}\) तक एकैक हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 12 Detailed Solution
अवधारणा:
एक फलन f: \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) → \(\mathbb{N}\) को एकैक कहा जाता है यदि (m1, n1) ≠ (m2, n2) इस प्रकार है कि (m1, n1), (m2, n2) ∈ \(\mathbb{N}\) × \(\mathbb{N}\) के लिए, f((m1, n1)) ≠ f(m2, n2) है।
व्याख्या:
(1): f1(m, n) = 2m 3n
मान लीजिए (m1, n1), (m2, n2) ∈ \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) इस प्रकार हैं कि
f1(m1, n1) = f1(m2, n2)
⇒ 2m1 3n1 = 2m2 3n2
⇒ 2m1-m2 = 3n2 -n1
⇒ m1 - m2 = n2 - n1 = 0
⇒ m1 = m2 और n2 = n1
⇒ (m1, n1) = (m2, n2)
विकल्प (1) सही है।
(2): f2(m, n) = m2 + m + n
(-1, 1) ≠ (0, 1)
लेकिन f2(-1, 1) = 1 - 1 + 1 = 1 और f2(0, 1) = 0 + 0 + 1 = 1
इसलिए, f2(-1, 1) = f2(0, 1) एकैक नहीं है।
विकल्प (2) गलत है।
(3): f3(m, n) = m3 + n3
(-1, 1) ≠ (0, 1)
लेकिन f3(1, 0) = 13 + 03 = 1 और f3(0, 1) = 03 + 13 = 1
इसलिए, f3(1, 0) = f3(0, 1) एकैक नहीं है।
विकल्प (3) गलत है।
(4): f4(m, n) = m n3
लेकिन f4(1, 1) = (1)(13) = 1 और f4(-1, -1) = (-1)(-1)3 = 1
इसलिए, f4(1, 1) = f4(-1, -1) एकैक नहीं है।
विकल्प (4) गलत है।
Real Number System Question 13:
माना कि x, y वास्तस्विक संख्या इस प्रकार हैं कि 0 < y ≤ x तथा n धनात्मक पूर्णांक है। निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Real Number System Question 13 Detailed Solution
व्याख्या:
an − bn = (a − b) (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + … + bn−1)
अब, xn − yn = (x − y) (xn−1 + xn−2 y + xn−3 y2 + … + yn−1) ≤ (x − y) (xn−1 + xn−2⋅x + xn−3 x2 + … + xn−1)
⇒ xn − yn ≤ (x − y) (xn−1 + xn−1 + … + xn−1) (∵ x ⩾ y)
⇒ xn − yn ≤ n xn−1 (x − y) -
विकल्प (4) सही, विकल्प (2) गलत है।
साथ ही, xn − yn ⩾ (x − y) (yn−1 + yn−2 ⋅ y + yn−3 y2 + … + yn−1) (: y ≤ x)
⇒ xn − yn ⩾ (x − y) (yn−1 + yn−1 + … + yn−1)
⇒ xn − yn ⩾ n yn−1(x − y) -
विकल्प (1) सही, विकल्प (3) गलत है।
साथ ही, विकल्प (2) के लिए, x = 3, y = 2, n = 2 लीजिए
तब 2 ⋅ 32−1 (3 − 2) = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 = 6 = n xn−1 (x − y)
और xn − yn = 32 − 22 = 9 − 4 = 5
तब 6 ≤ 5 ⇒ n xn−1 (x − y) ≤ xn − yn.
विकल्प - (2) गलत है।
विकल्प (3) के लिए
n yn−1 (x − y) = 2 ⋅ 22−1 (3 − 2) = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4
और xn − yn = 32 − 22 = 9 − 4 = 5
तब 4 ⩾ 5 ⇒ nyn−1 (x − y)⩾ xn − yn
विकल्प (3) गलत है।