Angular Momentum MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Angular Momentum - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

సిద్ధాంతం:

ఈ సమస్య కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఎలుక ఫ్యాన్ మీద దూకినప్పుడు, వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం జడత్వ బ్రామకం పెరుగుతుంది, దీని వలన కోణీయ వేగం తగ్గుతుంది. వ్యవస్థ యొక్క ప్రారంభ మరియు చివరి కోణీయ వేగాల ఆధారంగా కోణీయ వేగంలోని భిన్నాత్మక నష్టం లెక్కించబడుతుంది.

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం:

వ్యవస్థ యొక్క ప్రారంభ కోణీయ ద్రవ్యవేగం:

\( L_{\text{initial}} = I \omega_{\text{initial}} \)

m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఎలుక R వ్యాసార్థం వద్ద ఫ్యాన్ మీద దూకిన తర్వాత చివరి కోణీయ ద్రవ్యవేగం:

\( L_{\text{final}} = (I + mR^2) \omega_{\text{final}} \)

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం నుండి:

\( L_{\text{initial}} = L_{\text{final}} \)

కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క సమీకరణాలను ప్రతిక్షేపించండి:

\( I \omega_{\text{initial}} = (I + mR^2) \omega_{\text{final}} \)

కోణీయ వేగ నిష్పత్తి:

చివరి మరియు ప్రారంభ కోణీయ వేగం యొక్క నిష్పత్తిని కనుగొనడానికి పునర్వ్యవస్థీకరించండి:

\( \frac{\omega_{\text{final}}}{\omega_{\text{initial}}} = \frac{I}{I + mR^2} \)

కోణీయ వేగంలో భిన్నాత్మక నష్టం:

కోణీయ వేగంలో భిన్నాత్మక నష్టం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

 భిన్నాత్మక నష్టం\( = 1 - \frac{\omega_{\text{final}}}{\omega_{\text{initial}}} \)

నిష్పత్తిని ప్రతిక్షేపించండి:

 భిన్నాత్మక నష్టం \( = 1 - \frac{I}{I + mR^2} = \frac{mR^2}{I + mR^2} \)

కోణీయ వేగంలో భిన్నాత్మక నష్టం: \(\frac{\mathrm{mR}^2}{\mathrm{I}+\mathrm{mR}^2}\)

సిద్ధాంతం:

గరిష్ట ఎత్తు వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగం లంబ దూరం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది

వేగ సదిశ మరియు ప్రక్షిప్త బిందువు మధ్య. కోణీయ ద్రవ్యవేగం కోసం సమీకరణం ఇవ్వబడింది:

\( L = m v_x h \)

గణన:

ప్రక్షిప్తం కోసం L లో v_x మరియు h ని ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది:

\( L = m (u \cos θ) \left(\frac{u^2 \sin^2 θ}{2g}\right) \)

సరళీకరించడం:

\( L = \frac{m u^3}{2g} \cos θ \sin^2 θ \)

\( L \propto \cos θ (1 - \cos^2 θ) \)

ఇది θ యొక్క నిర్దిష్ట విలువకు ఉత్పత్తి గరిష్టంగా చేరుకుంటుంది కాబట్టి ఒక శిఖరాన్ని కలిగి ఉంటుందని చూపుతుంది.

గ్రాఫ్ యొక్క స్వభావం:

L వర్సెస్ θ గ్రాఫ్ 0 మరియు π/2 మధ్య ఒక శిఖరాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండు చివర్లలో 0.

∴ 4) ఎంపిక సరైనది

సిద్ధాంతం:

• కేంద్ర బలం: కేంద్ర బలం అనేది ఎల్లప్పుడూ ఒక స్థిర బిందువు (కేంద్రం) వైపు లేదా దాని నుండి దూరంగా ఉండే బలం. కేంద్ర బలం కింద కదులుతున్న కణం యొక్క పొటెన్షియల్ శక్తి \( U(r) \) కేంద్రం నుండి దూరం \( r \) మీద మాత్రమే ఆధారపడుతుంది.
• కోణీయ ద్రవ్యవేగం \( L \) ని \( L = r \times mv \) గా నిర్వచించారు.
• స్థిర కక్ష్యను కేంద్రాభిముఖ బలాన్ని పొటెన్షియల్ శక్తి ఫంక్షన్ నుండి ఉత్పన్నమయ్యే బలంతో సమతుల్యం చేయడం ద్వారా పొందుతారు.

గణన:

ఇవ్వబడింది:

కోణీయ ద్రవ్యవేగం, \( L \)

పొటెన్షియల్ శక్తి, \( U(r) = -\frac{k}{r^2} \)

స్థిర వృత్తాకార చలనం కోసం:

\( \frac{dU}{dr} = \frac{L^2}{m r^3} \)

⇒ \( \frac{2k}{r^3} = \frac{L^2}{m r^3} \)

⇒ \( r^3 = \frac{L^2}{m k} \)

⇒ \( r = \left(\frac{L^2}{m k}\right)^{\frac{1}{3}} \)

∴ సరైన ఎంపిక (A): \( r = \left(\frac{L^2}{m k}\right)^{\frac{1}{3}} \)

సిద్ధాంతం:

కేంద్ర బలం ప్రభావంతో కదులుతున్న ఒక వస్తువు స్థితిజ శక్తి బల కేంద్రం నుండి దూరంపై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది.

ఈ సందర్భంలో, స్థితిజ శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

\(V(R) = AR^3(A > 0)\)

r వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలో వస్తువు కదలాలంటే, ఈ స్థితిజ శక్తి నుండి ఉత్పన్నమయ్యే కేంద్ర బలం యొక్క రేడియల్ భాగం అపకేంద్ర బలాన్ని అందించాలి.

వివరణ:

AR³ స్థితిజ శక్తితో సంబంధిత బలం ఇలా లెక్కించబడుతుంది:

\( F(R) = -\frac{dV}{dR} = -\frac{d}{dR}(AR^3) = -3AR^2\)

r వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యకు అవసరమైన అపకేంద్ర బలం:

\(F_{\text{centripetal}} = \frac{M v^2}{r}\)

ఇక్కడ M వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు v దాని స్పర్శీయ వేగం.

అపకేంద్ర బలాన్ని కేంద్ర బలం యొక్క రేడియల్ భాగానికి సమానం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:

\( \frac{M v^2}{r} = 3A r^2\)

వేగాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా,

\( v^2 = \frac{3A r^3}{M}\)

v వేగంతో కదులుతున్న M ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి K ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

\(K = \frac{1}{2} M v^2= \frac{1}{2} M \left( \frac{3A r^3}{M} \right) \\ K= \frac{3A r^3}{2}\)

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక

సరైన సమాధానం P/m.

కీలక అంశాలు

• ద్రవ్యవేగం అనేది ఒక వస్తువుకు ఉండే చలన పరిమాణాన్ని తెలియజేస్తుంది.
  • ఒకవేళ ఒక వస్తువు చలనంలో ఉన్నట్లయితే (కదలికపై) అప్పుడు దానికి ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది. ద్రవ్యవేగాన్ని "చలనంలో ద్రవ్యరాశి"గా నిర్వచించవచ్చు.
  • అన్ని వస్తువులకు ద్రవ్యరాశి ఉంటుంది.
• కాబట్టి ఒక వస్తువు కదులుతున్నట్లయితే, అప్పుడు దానికి ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది - దాని ద్రవ్యరాశి చలనంలో ఉంటుంది.
  • p = mv
  • కాబట్టి \(v = {p\over{m}}\) 
    • p = ద్రవ్యవేగం
    • m = ద్రవ్యరాశి
    • v = వేగం

సరైన సమాధానం P/m.

కీలక అంశాలు

• ద్రవ్యవేగం అనేది ఒక వస్తువుకు ఉండే చలన పరిమాణాన్ని తెలియజేస్తుంది.
  • ఒకవేళ ఒక వస్తువు చలనంలో ఉన్నట్లయితే (కదలికపై) అప్పుడు దానికి ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది. ద్రవ్యవేగాన్ని "చలనంలో ద్రవ్యరాశి"గా నిర్వచించవచ్చు.
  • అన్ని వస్తువులకు ద్రవ్యరాశి ఉంటుంది.
• కాబట్టి ఒక వస్తువు కదులుతున్నట్లయితే, అప్పుడు దానికి ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది - దాని ద్రవ్యరాశి చలనంలో ఉంటుంది.
  • p = mv
  • కాబట్టి \(v = {p\over{m}}\) 
    • p = ద్రవ్యవేగం
    • m = ద్రవ్యరాశి
    • v = వేగం

సరైన సమాధానం P/m.

కీలక అంశాలు

• ద్రవ్యవేగం అనేది ఒక వస్తువుకు ఉండే చలన పరిమాణాన్ని తెలియజేస్తుంది.
  • ఒకవేళ ఒక వస్తువు చలనంలో ఉన్నట్లయితే (కదలికపై) అప్పుడు దానికి ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది. ద్రవ్యవేగాన్ని "చలనంలో ద్రవ్యరాశి"గా నిర్వచించవచ్చు.
  • అన్ని వస్తువులకు ద్రవ్యరాశి ఉంటుంది.
• కాబట్టి ఒక వస్తువు కదులుతున్నట్లయితే, అప్పుడు దానికి ద్రవ్యవేగం ఉంటుంది - దాని ద్రవ్యరాశి చలనంలో ఉంటుంది.
  • p = mv
  • కాబట్టి \(v = {p\over{m}}\) 
    • p = ద్రవ్యవేగం
    • m = ద్రవ్యరాశి
    • v = వేగం

సిద్ధాంతం:

ఈ సమస్య కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఎలుక ఫ్యాన్ మీద దూకినప్పుడు, వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం జడత్వ బ్రామకం పెరుగుతుంది, దీని వలన కోణీయ వేగం తగ్గుతుంది. వ్యవస్థ యొక్క ప్రారంభ మరియు చివరి కోణీయ వేగాల ఆధారంగా కోణీయ వేగంలోని భిన్నాత్మక నష్టం లెక్కించబడుతుంది.

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం:

వ్యవస్థ యొక్క ప్రారంభ కోణీయ ద్రవ్యవేగం:

\( L_{\text{initial}} = I \omega_{\text{initial}} \)

m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఎలుక R వ్యాసార్థం వద్ద ఫ్యాన్ మీద దూకిన తర్వాత చివరి కోణీయ ద్రవ్యవేగం:

\( L_{\text{final}} = (I + mR^2) \omega_{\text{final}} \)

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం నుండి:

\( L_{\text{initial}} = L_{\text{final}} \)

కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క సమీకరణాలను ప్రతిక్షేపించండి:

\( I \omega_{\text{initial}} = (I + mR^2) \omega_{\text{final}} \)

కోణీయ వేగ నిష్పత్తి:

చివరి మరియు ప్రారంభ కోణీయ వేగం యొక్క నిష్పత్తిని కనుగొనడానికి పునర్వ్యవస్థీకరించండి:

\( \frac{\omega_{\text{final}}}{\omega_{\text{initial}}} = \frac{I}{I + mR^2} \)

కోణీయ వేగంలో భిన్నాత్మక నష్టం:

కోణీయ వేగంలో భిన్నాత్మక నష్టం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

 భిన్నాత్మక నష్టం\( = 1 - \frac{\omega_{\text{final}}}{\omega_{\text{initial}}} \)

నిష్పత్తిని ప్రతిక్షేపించండి:

 భిన్నాత్మక నష్టం \( = 1 - \frac{I}{I + mR^2} = \frac{mR^2}{I + mR^2} \)

కోణీయ వేగంలో భిన్నాత్మక నష్టం: \(\frac{\mathrm{mR}^2}{\mathrm{I}+\mathrm{mR}^2}\)

సిద్ధాంతం:

గరిష్ట ఎత్తు వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగం లంబ దూరం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది

వేగ సదిశ మరియు ప్రక్షిప్త బిందువు మధ్య. కోణీయ ద్రవ్యవేగం కోసం సమీకరణం ఇవ్వబడింది:

\( L = m v_x h \)

గణన:

ప్రక్షిప్తం కోసం L లో v_x మరియు h ని ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది:

\( L = m (u \cos θ) \left(\frac{u^2 \sin^2 θ}{2g}\right) \)

సరళీకరించడం:

\( L = \frac{m u^3}{2g} \cos θ \sin^2 θ \)

\( L \propto \cos θ (1 - \cos^2 θ) \)

ఇది θ యొక్క నిర్దిష్ట విలువకు ఉత్పత్తి గరిష్టంగా చేరుకుంటుంది కాబట్టి ఒక శిఖరాన్ని కలిగి ఉంటుందని చూపుతుంది.

గ్రాఫ్ యొక్క స్వభావం:

L వర్సెస్ θ గ్రాఫ్ 0 మరియు π/2 మధ్య ఒక శిఖరాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండు చివర్లలో 0.

∴ 4) ఎంపిక సరైనది

సిద్ధాంతం:

• కేంద్ర బలం: కేంద్ర బలం అనేది ఎల్లప్పుడూ ఒక స్థిర బిందువు (కేంద్రం) వైపు లేదా దాని నుండి దూరంగా ఉండే బలం. కేంద్ర బలం కింద కదులుతున్న కణం యొక్క పొటెన్షియల్ శక్తి \( U(r) \) కేంద్రం నుండి దూరం \( r \) మీద మాత్రమే ఆధారపడుతుంది.
• కోణీయ ద్రవ్యవేగం \( L \) ని \( L = r \times mv \) గా నిర్వచించారు.
• స్థిర కక్ష్యను కేంద్రాభిముఖ బలాన్ని పొటెన్షియల్ శక్తి ఫంక్షన్ నుండి ఉత్పన్నమయ్యే బలంతో సమతుల్యం చేయడం ద్వారా పొందుతారు.

గణన:

ఇవ్వబడింది:

కోణీయ ద్రవ్యవేగం, \( L \)

పొటెన్షియల్ శక్తి, \( U(r) = -\frac{k}{r^2} \)

స్థిర వృత్తాకార చలనం కోసం:

\( \frac{dU}{dr} = \frac{L^2}{m r^3} \)

⇒ \( \frac{2k}{r^3} = \frac{L^2}{m r^3} \)

⇒ \( r^3 = \frac{L^2}{m k} \)

⇒ \( r = \left(\frac{L^2}{m k}\right)^{\frac{1}{3}} \)

∴ సరైన ఎంపిక (A): \( r = \left(\frac{L^2}{m k}\right)^{\frac{1}{3}} \)

సిద్ధాంతం:

కేంద్ర బలం ప్రభావంతో కదులుతున్న ఒక వస్తువు స్థితిజ శక్తి బల కేంద్రం నుండి దూరంపై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది.

ఈ సందర్భంలో, స్థితిజ శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

\(V(R) = AR^3(A > 0)\)

r వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలో వస్తువు కదలాలంటే, ఈ స్థితిజ శక్తి నుండి ఉత్పన్నమయ్యే కేంద్ర బలం యొక్క రేడియల్ భాగం అపకేంద్ర బలాన్ని అందించాలి.

వివరణ:

AR³ స్థితిజ శక్తితో సంబంధిత బలం ఇలా లెక్కించబడుతుంది:

\( F(R) = -\frac{dV}{dR} = -\frac{d}{dR}(AR^3) = -3AR^2\)

r వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యకు అవసరమైన అపకేంద్ర బలం:

\(F_{\text{centripetal}} = \frac{M v^2}{r}\)

ఇక్కడ M వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు v దాని స్పర్శీయ వేగం.

అపకేంద్ర బలాన్ని కేంద్ర బలం యొక్క రేడియల్ భాగానికి సమానం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:

\( \frac{M v^2}{r} = 3A r^2\)

వేగాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా,

\( v^2 = \frac{3A r^3}{M}\)

v వేగంతో కదులుతున్న M ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి K ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

\(K = \frac{1}{2} M v^2= \frac{1}{2} M \left( \frac{3A r^3}{M} \right) \\ K= \frac{3A r^3}{2}\)

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక

हल:

• जड़त्व आघूर्ण एक राशि है जो कोणीय त्वरण का विरोध करने के लिए पिंड की प्रवृत्ति को व्यक्त करती है, जो घूर्णन अक्ष से इसकी दूरी के वर्ग के साथ पिंड में प्रत्येक कण के द्रव्यमान के गुणनफलों का योग होता है।
• कोणीय संवेग कोणीय चाल, ω और जड़त्व आघूर्ण, I का गुणनफल होता है।
• हम कोणीय संवेग को L = Iω के रूप में लिखते हैं
• कोणीय संवेग संरक्षण के नियम में कहा गया है कि, यदि किसी निकाय पर कार्यरत शुद्ध बाह्य बल आघूर्ण शून्य है, तो बंद/विलगित निकाय के लिए कोणीय संवेग समय के साथ स्थिर रहता है।
• Δ L = 0 ⇒ L1 = L2 --- (1)

गणना:

दिया गया है, द्रव्यमान = m, त्रिज्या = a, कोणीय चाल ω।

डिस्क का जड़त्व आघूर्ण, \(I = \frac{1}2ma^2\)

प्रारंभिक कोणीय संवेग, L_i = Iω = \( \frac{1}2ma^2×ω\) --- (2)

मान लीजिए ω' डिस्क का कोणीय संवेग है जब m द्रव्यमान का कण रिम पर जुड़ा होता है।

और जड़त्व आघूर्ण, \(I' = \frac{1}2ma^2 + ma^2\)

अंतिम कोणीय संवेग, L_f =ω' × I' = \( \frac{1}2ma^2ω' + ma^2ω'\) --- (3)

अब, समीकरण 1 से

⇒ L_i = L_f

⇒ \( \frac{1}2ma^2×ω\) = \( \frac{1}2ma^2ω' + ma^2ω'\)

⇒  \(\omega' =\frac{ \omega}{3}\)