निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :

1. log10 50 एक परिमेय संख्या है।

2. log100 10  एक अपरिमेय संख्या है।

उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं ?

अवधारणा:

• किसी भी आधार b के लिए जो एक अबीजीय संख्या है, प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 2 का लघुगणक एक अपरिमेय संख्या है।
• एक परिमेय संख्या एक संख्या है, जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।
   

प्रयुक्त सूत्र:

• log mn = log m + log n 

• log_aa = 1
• log_aⁿb = (1/n) log_ab

गणना:

कथन:1 log₁₀50 एक परिमेय संख्या है।

log1050 = log1050 =  log10(5 × 10)

log1050 = log105 + log1010   

log1050 = log105 + 1

उपरोक्त चर्चा के अनुसार, log₁₀5 एक अपरिमेय संख्या है, log₁₀50 भी अपरिमेय संख्या होगी।

कथन:2 log₁₀₀ 10 एक अपरिमेय संख्या है।

log₁₀₀10 = log_10²10 = (1/2)log₁₀10 = 1/2

जो कि एक परिमेय संख्या है।

∴ दोनों कथन गलत हैं।