Question
Download Solution PDFऐसे z ∈ ℂ कि 1 − z − z2 ≠ 0 हो, के लिए f(z) = \(\rm\frac{1}{1−z−z^2}\) द्वारा परिभाषित फलन f पर विचार करें। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है
स्पष्टीकरण:
f(z) = \(\rm\frac{1}{1−z−z^2}\) z ∈ ℂ के लिए
f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं
1 - z - z 2 = 0 ⇒ z = \({-1 \pm \sqrt{1+4} \over 2}\) = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\)
तो f(z) में z = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\) पर एक ध्रुव है
अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं
f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है
f(z) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\) a n z n = f(0) + \(\frac{f'(0)}{1!}\) z + ....
तो a 0 = f(0) = 1
और a 1 = \(\frac{f'(0)}{1!}\)
अब, f'(z) = - \(\rm\frac{1}{(1−z−z^2)^2}\) (-1 - 2z)
तो f'(0) = 1
अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है
Last updated on Jun 5, 2025
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