यदि रेखा x + 2y + 3z – 4 = 0 = 2x + y –z + 5 वाले और समतल पर  लंब वाले समतल का समीकरण ax + by + cz = 4 है, तो (a – b + c) किसके बराबर है?

अवधारणा -

जब दो तल एक दूसरे के लंबवत होते हैं, तो उनके अभिलंबों का बिंदु गुणनफल शून्य होता है।

स्पष्टीकरण -

दी गई रेखाओं वाले समतल P का समीकरण है

(x + 2y + 3z – 4) + λ (2x + y – z + 5) = 0

⇒ (1 + 2 λ ) x + (2 + λ )y + (3 - λ ) z + (-4 + 5 λ ) = 0

अब, समतल P, समतल P' पर लंब है

इसलिए, समतल P' के लिए अभिलंब है

⇒

∴ P और P' लंब हैं

∴ 5 (1 + 2λ) – 2(2 + λ) – 3 (3 – λ) = 0

⇒ 5 + 10λ – 4 – 2λ – 9 + 3λ = 0

⇒

∴ P : + = 0

अर्थात, 27x + 30y + 25z = 4

जो कि ax + by + cz = 4 के समान है।

∴ a = 27, b = 30 और c = 25

⇒ a – b + c = 27 – 30 + 25 = 22

अतः विकल्प (1) सही है।