यदि प्रणाली

2x – y + 3z = 2

x + y + 2z = 2

5x – y + az = b

यदि अनंत रूप से अनेक हल हैं, तो a और b के मान क्रमशः हैं

अवधारणा :

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x ₁ , x ₂ , …, x _n हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित मैट्रिसेस की रैंक ज्ञात करने की आवश्यकता है।

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]\) और

\(\left[ {A{\rm{|}}B} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}&{{b_1}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}&{{b_2}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}}&{{b_m}} \end{array}} \right]\)

A गुणांक मैट्रिक्स है और [A|B] को दी गई समीकरण प्रणाली का संवर्धित मैट्रिक्स कहा जाता है।

हम निम्न प्रकार से समीकरणों की दी गई प्रणाली की संगति ज्ञात कर सकते हैं:

• यदि मैट्रिक्स A की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है और यह अज्ञात की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अद्वितीय समाधान है, अर्थात

A की रैंक = संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक = n

• यदि मैट्रिक्स A की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है और यह अज्ञात की संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और समाधानों की संख्या अनंत है।

A की रैंक = संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक < n

• यदि मैट्रिक्स A की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है, और इसका कोई हल नहीं है।

A की रैंक ≠ संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक

गणना :

दी गई रैखिक प्रणाली है

2x – y + 3z = 2

x + y + 2z = 2

5x – y + az = b

फिर संवर्धित मैट्रिक्स फॉर्म नीचे लिखा गया है;

\(\left[ {A{\rm{|}}B} \right] \equiv \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 1&1&2\\ 5&{ - 1}&a \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2\\ b \end{array}} \right]\)

R2 → R2 + 2R1

\(= \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 5&{ - 1}&8\\ 5&{ - 1}&a \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6\\ b \end{array}} \right]\)

R3 → R3 – R2

\(= \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 5&{ - 1}&8\\ 0&0&{a - 8} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6\\ {b - 6} \end{array}} \right]\)

रैंक (A) < n = 3 के लिए

'a' = 8 होना चाहिए

रैंक [A|B] < 3 के लिए, b = 6