Engineering Mathematics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Engineering Mathematics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

विश्लेषण:

\(I = \mathop \smallint \limits_0^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } {\cos ^5}\theta {\rm{ }}d\theta \) पर विचार कीजिए

sin θ = t रखने पर

cos θ dθ = dt

यदि θ = 0 to \(\theta = \frac{\pi }{2}\) तब t = 0 से t = 1

अब, \(I = \mathop \smallint \limits_{\theta = 0}^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } \cos \theta \cdot {\left( {1 - {{\sin }^2}\theta } \right)^2}d\theta \)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t {\left( {1 - {t^2}} \right)^2}dt\)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t \left( {1 + {t^4} - 2{t^2}} \right)dt\)

\(I = \left( {\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{t^{\frac{{11}}{2}}}}}{{\frac{{11}}{2}}} - \frac{{2{t^{\frac{7}{2}}}}}{{\frac{7}{2}}}} \right)_0^1\)

\(I = \frac{2}{3} + \frac{2}{{11}} - \frac{4}{7}\)

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

\(\sec x ={1\over \cos x}\)

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

मानक फलन का समाकल

\(\smallint \sec^2(ax +b) dx=\tan (ax+b)\)

\(\smallint\tan x dx= log |\sec x|=-log~cos x\)

मानक फलन का अवकलज

\(\frac{{d}}{{dx}}(x^n)=nx^{n-1}\)

\(\frac{{d}}{{dx}}(x)=1\)

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास \(x\over cos^2 x\) है

जहाँ u = x और \(v ={1\over cos^2 x}= sec^2 x\)

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x\smallint sec^2 x~dx - \smallint \left[ {\frac{{d}}{{dx}}x\smallint sec^2x~dx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x \tan x~dx - \smallint \tan x dx\)

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

अवधारणा:

बहुलक, माध्यक और माध्य के बीच संबंध निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

बहुलक = 3 × माध्यक – 2 × माध्य

गणना:

दिया गया है:

बहुलक – माध्यक = 2

जैसा कि हम जानते हैं,

बहुलक = 3 × माध्यक – 2 × माध्य

अब, बहुलक = माध्यक + 2

⇒ (2 + माध्यक) = 3 माध्यक – 2माध्य

⇒ 2 माध्यक - 2 माध्य = 2

⇒ माध्यक - माध्य = 1

∴ माध्यक और माध्य के बीच अंतर 1 है।

अवधारणा:

आव्यूह A = ǀ A¹²¹ - A¹²⁰ ǀ

A = ǀ A¹²⁰ (A – I) ǀ

अतः A = ǀ A¹²⁰ǀ ǀ A – I ǀ

गणना:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\)

अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right] - {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

अब (A – I) का सारणिक,

ǀ A – I ǀ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

ǀ A – I ǀ = 0              (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)

इसलिए, |A121 - A120| =  A120|A – I|  = 0

गणना:

एक बैग में 3 सफेद, 2 नीली और 5 लाल गेंदें होती हैं।

गेंदों की कुल संख्या = 3 + 2 + 5 = 10

गेंदों की संख्या जो लाल नहीं हैं = 10 - 5 = 5

निकाली गई गेंदों की प्रायिकता जो लाल नहीं हैं = (गेंदों की संख्या जो लाल नहीं हैं)/(गेंदों की कुल संख्या) = 5/10 = 1/2

संकल्पना:

रैंक:

आव्यूह की रैंक एक संख्या है जो उच्चतम कोटि के गैर-लोपी गौण के कोटि के बराबर है, जिसे आव्यूह से बनाया जा सकता है।

आव्यूह A के लिए इसे ρ (A) द्वारा दर्शाया गया है।

आव्यूह की रैंक को r कहा जाता है यदि,

• कोटि r का कम से कम एक गैर-शून्य गौण है।
• r की तुलना में अधिक कोटि होनेवाले आव्यूह A का हर गौण शून्य है।

आव्यूह की रैंक का गुण:

​ρ(AB) ≤ min [ρ(A), ρ(B)]

गणना:

दिया हुआ:

ρ(A) = 2, ρ(B) = 3

गुणों का उपयोग करके

ρ(AB) ≤ min [ρ(A), ρ(B)]

ρ(AB) ≤ min (2,3)

⇒ ρ(AB) ≤ 2

Alternate Method

माना कि आव्यूह A की कोटि 2 × m और आव्यूह B की कोटि m × 3 हैं (∵ गुणन के लिए हमें A का स्तंभ और B की पंक्ति समान होने की आवश्यकता है)

∴ आव्यूह AB की कोटि 2 × 3 होगी

गुणों का उपयोग करके

ρ(AB) ≤ min (पंक्ति, स्तंभ)

⇒ ρ(AB) ≤ min (2, 3)  [केवल तभी जब A का स्तंभ और B की पंक्ति समान है]

⇒ ρ(AB) ≤ 2।

∵ हम A और B के आयाम को नहीं जानते हैं, हम AB की सटीक रैंक का अनुमान नहीं लगा सकते हैं लेकिन इसकी अधिकतम रैंक 2 होगी।

Important Points

आव्यूह की रैंक के अन्य गुण हैं:

• आव्यूह की रैंक प्राथमिक परिवर्तन से नहीं बदलती है, हम आव्यूह को सोपानक रूप में बदलकर रैंक की गणना कर सकते हैं। सोपानक रूप में आव्यूह की रैंक आव्यूह की गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या है।
• यदि आव्यूह शून्य है, तो आव्यूह की रैंक शून्य है।
• ρ(A) ≤ min (Row, Column)
• ρ(AB) ≤ min [ρ(A), ρ(B)]
• ρ(AT A) = ρ(A AT) = ρ(A) = ρ(AT)
• यदि A और B एक ही कोटि के आव्यूह हैं तो ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B) और ρ(A - B) ≥ ρ(A) - ρ(B)।
• यदि Aθ, A का संयुग्म परिवर्त है तो ρ(Aθ) = ρ(A) और ρ(A Aθ) = ρ(A)।
• एक विषम-सममित आव्यूह की रैंक एक नहीं हो सकती है।

व्याख्या:

मान लीजिए A, B और C आव्यूह हैं, a, b और c अदिश हैं और आव्यूहों का आकार ऐसा है कि संक्रियाएं की जा सकती हैं तब

आव्यूह गुणन के गुण:

आव्यूह गुणन का साहचर्य गुण:

• A(BC) = (AB)C

गुणन का वितरण गुण:

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC + BC
• AIn = InA = A,  In उचित तत्समक आव्यूह है
• c(AB)= (cA)B = A(cB)

नोट: सामान्यतः AB ≠ BA, अर्थात आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है, भले ही आव्यूह वर्ग हो और समान कोटि का हो।

आव्यूह जोड़ और अदिश गुणन के गुण:

जोड़ का क्रमविनिमेय गुण

• A + B = B + A

जोड़ का साहचर्य गुण

• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + O = O + A जहां O उचित शून्य आव्यूह है

जोड़ का वितरण गुण

• c(A + B) = cA + cB
• (a + b)C = aC + bC
• (ab)C = a(bc)

संकल्पना:

समलम्बाकार नियम बताता है कि एक फलन y = f(x) के लिए

xn = x0 + nh, जहाँ n = उप-अंतरालों की संख्या 

h = चरण - आकार

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_0} + nh} f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left[ {\left( {{y_0} + {y_n}} \right) + 2\left( {{y_1} + {y_2} + {y_3} + \ldots + {y_{n - 1}}} \right)} \right]\)     …1)

एक समलम्बाकार नियम के लिए उप-अंतरालों की संख्या 1 की गुणज होनी चाहिए।

गणना:

\(\begin{array}{*{20}{c}} x&:&0&1&2\\ {f\left( x \right)}&:&4&3&{12} \end{array}\)

यहाँ: x0 = 4, x1 = 3, x2 = 12, h = 1

समीकरण (1) से;

\(\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left[ {\left( {{x_0} + {x_2}} \right) + 2\left( {{x_1}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{4} + {12}} \right) + 2\left( {{3}} \right)} \right]={22\over2}=11\)

प्रमुख बिंदु:

समलम्बाकार नियम के अलावा, अन्य संख्यात्मक समाकलन विधि हैं:

सिम्पसन का एक तिहाई नियम:

इस नियम को लागू करने के लिए, उप-अंतरालों की संख्या 2 का गुणक होना चाहिए।

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_0} + nh} f\left( x \right)dx = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_0} + {y_n}} \right) + 4\left( {{y_1} + {y_3} + {y_5} + \ldots + {y_{n - 1}}} \right) + 2\left( {{y_2} + {y_4} + {y_6} + \ldots + {y_{n - 2}}} \right)} \right]\)     ..2)

सिम्पसन के तीन-आठवां नियम:

इस नियम को लागू करने के लिए, उप-अंतरालों की संख्या 3 का गुणक होना चाहिए।

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_0} + nh} f\left( x \right)dx = \frac{{3h}}{8}\left[ {\left( {{y_0} + {y_n}} \right) + 3\left( {{y_1} + {y_2} + {y_4} + {y_5} + \ldots } \right) + 2\left( {{y_3} + {y_6} + \ldots } \right)} \right]\)

संकल्पना:

यदि 3 × 3 सजातीय आव्यूह की रैंक 3 से कम है तो संबंधित समीकरणों में गैर-नगण्य समाधान होगा

स्पष्टीकरण:

गैर-नगण्य समाधान के लिए

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} p&q&r\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

R1 = R1 + R2 + R3

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {p + q + r}&{\;q + r + p}&{r + p + q}\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

\(\left( {p + q + r} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\;1}&1\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

∴ p + q + r = 0

या

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\;1}&1\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

एक आव्यूह का ट्रेस

माना कि A k × k आव्यूह है। फिर इसके ट्रेस को trace(A) या tr(A) द्वारा दर्शाया जाता है, इसके विकर्ण तत्वों का योग है

\(tr\left( A \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^k {A_{kk}}\)

गणना:

दिया गया आव्यूह है

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}} \right]\)

1, 5, 9 विकर्ण तत्व हैं।

tr(A) = A11 + A22 + A33

tr(A) = 1 + 5 + 9

tr(A) = 15

संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है।
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
• यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

गणना:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)

C2 → C2 + C₃ लागू करने पर

\( = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a + b + c}&{b + c}\\ 1&{a + b + c}&{c + a}\\ 1&{a + b + c}&{a + b} \end{array}} \right|\)

C₂ से (a + b + c) उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(= \left( {a + b + c} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{b + c}\\ 1&1&{c + a}\\ 1&1&{a + b} \end{array}} \right|\)

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और दूसरी स्तंभ बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है।

∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)= 0

संकल्पना:

हम जानते हैं कि,

खंडशः विधि द्वारा

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

जहाँ u, v को ILATE अनुक्रम का पालन करना चाहिए। [I= व्युत्क्रम, L= लघुगुणक, A= बीजगणित, T= त्रिकोणमिति, E= घातांकीय पद]

गणना:

दिया गया है:

दिए गए समीकरण से \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)

u = ln(x), v = √x

अब,

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}} = {\rm{lnx}} \cdot \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} √ {\rm{x}} {\rm{dx}} - \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} \left[ {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}} \cdot {\rm{\;}}\smallint √ {\rm{x}} {\rm{dx}}} \right]{\rm{dx}}\)  

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e - \smallint \left[ {\frac{1}{x} \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]dx\)

 \(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times {x^{\frac{3}{2}}} \times \frac{2}{3} - \frac{4}{9} \times {x^{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e\)

∴  \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)  \(= \frac{2}{9}√ {{e^3}} + \frac{4}{9}\)