सीधी रेखा \(\frac {x + 1}{2} = \frac {y - 2}{5} = \frac {z + 3}{4}\) और \(\frac {x - 1}{1} = \frac {y + 2}{2} = \frac {z - 3}{-3}\) के बीच का कोण क्या है?

संकल्पना:

रेखाओं के बीच का कोण:

रेखाओं के बीच का कोण \(\rm \frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\;and\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\) निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \cos θ = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right) ⋅ \left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\), जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂ और c₂ दिशा अनुपात हैं। 

गणना:

दिया गया है:  \(\frac {x + 1}{2} = \frac {y - 2}{5} = \frac {z + 3}{4}\) और \(\frac {x - 1}{1} = \frac {y + 2}{2} = \frac {z - 3}{-3}\)

रेखाओं के दिशा अनुपात a₁ = 2, b₁ = 5, c₁ = 4 और a₂ = 1, b₂ = 2 , c₂ = -3 हैं। 

चूँकि हम जानते हैं, रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है \(\rm \cos θ = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right) ⋅ \left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

\(\Rightarrow \rm \cos θ = \frac{{{2} \times {1} + {5}\times{2} + {4}\times{-3}}}{{\left( {\sqrt {2^2 + 5^2 + 4^2} } \right) ⋅ \left( {\sqrt {1^2 + 2^2 + (-3)^2} } \right)}} = 0\)

∴ θ = 90°