दीर्घवृत्त 3x2 + y2 -12x + 2y + 1 = 0 के लैटस रेक्टम की लम्बाई क्या है?

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} = 1\)

लैटस रेक्टम की लम्बाई = जब a > b है, तो 2b²/a है और जब a < b है, तो 2a²/b है।  

गणना:

3x² + y² -12x + 2y + 1 = 0

⇒ 3(x² - 4x + 4) – 12 + (y² + 2y + 1) = 0

⇒ 3(x – 2)² – 12 + (y + 1)² = 0

⇒ 3(x – 2)² + (y + 1)² = 12

\( \Rightarrow \frac{{3{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{{{\left( {{\rm{y}} + 1} \right)}^2}}}{{12}} = 1\)                                  (12 से विभाजित)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {{\rm{y}} + 1} \right)}^2}}}{{12}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{{\left( {{\rm{y}} + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\)

∴ a² = 2² और b² = (2√3)²

यहाँ a < b

इसलिए, लैटस रेक्टम की लम्बाई = 2a²/b

= \(\frac{{2\left( 4 \right)}}{{2\sqrt 3 }}\)

= \(\frac{4}{\sqrt 3}\) इकाई