किसी कण के स्थिति सदिश समय के अनुसार संबंध \(\rm \vec{r}(t)=15 t^{2} \hat{i}+\left(4-20 t^{2}\right) \hat{j} . \) के अनुसार परिवर्तित होता है। t = 1 पर त्वरण का परिमाण क्या है?

अवधारणा:

स्थिति सदिश और त्वरण

• किसी कण का स्थिति सदिश समय के फलन के रूप में अंतरिक्ष में उसके स्थान के बारे में जानकारी प्रदान करता है।
• त्वरण समय के सापेक्ष वेग परिवर्तन की दर है।
• त्वरण ज्ञात करने के लिए, हमें समय के सापेक्ष स्थिति सदिश को दो बार अवकलित करना होगा।

व्याख्या:

• दिया गया स्थिति सदिश है: r(t) = 15t² i + (4 - 20t²) j
• सबसे पहले, हम समय के सापेक्ष स्थिति सदिश को अवकलित करके वेग ज्ञात करते हैं:
  • v(t) = dr(t)/dt = 30t i - 40t j
• अगला, हम समय के सापेक्ष वेग को अवकलित करके त्वरण ज्ञात करते हैं:
  • a(t) = dv(t)/dt = 30 i - 40 j
• t = 1 पर, त्वरण सदिश है:
  • a(1) = 30 i - 40 j
• त्वरण के परिमाण को ज्ञात करें:
  • |a(1)| = √(30² + (-40)²)
  • |a(1)| = √(900 + 1600)
  • |a(1)| = √2500
  • |a(1)| = 50

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4: 50 है।