\(\rm x^2{ dy\over dx}= x^2+xy+y^2\) का हल क्या होगा?

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{ dx\over x}=logx+c\)

\(\rm \int{ dx \over {a^2+x^2}}={1\over a}tan^{-1}x+c\)

गणना:

\(\rm x^2{ dy\over dx}= x^2+xy+y^2\)

⇒\(\rm { dy\over dx}= 1+{y\over x}+({y\over x})^2\)

y = vx और \(\rm {{dy}\over {dx}} = v+x {{dv}\over{dx}} \) रखने पर

⇒ \(\rm v+x{ dv\over dx}= 1+v+v^2\)

⇒ \(\rm x{ dv\over dx}= 1+v^2\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm \int{ dx\over x}=\int{ dv \over {1+v^2}}\)

⇒ \(\rm logx= tan^{-1}v+c\), c = समाकलन का स्थिरांक

v का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

∴ \(\rm \log x= tan^{-1}{y\over x}+c\)