निम्न समीकरणों की प्रणाली

x + y + 2z = a

x + z = b

2x + y + 3z = c

एक हल है यदि:

संकल्पना:

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂

…

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + … + a_mn x_n = b_m

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2, …, xn शामिल हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित आव्यूहों की रैंक ज्ञात करनी होगी।

A =  और [A|B] = 

A गुणांक आव्यूह है और [A | B] समीकरणों की दी गई प्रणाली का एक संवर्धित आव्यूह कहा जाता है।

हम दिए गए समीकरणों की प्रणाली की संगति इस प्रकार पा सकते हैं:

(i) यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अद्वितीय हल है।

A की रैंक = संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक = n

(ii) यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और अनंत संख्या में हल हैं।

A की कोटि = संवर्धित आव्यूह की कोटि < n

(iii) यदि आव्यूह A की कोटि संवर्धित आव्यूह के कोटि के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है, और इसका कोई हल नहीं है।

A की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि 

गणना:

दिए गए समीकरणों से:

x + y + 2z = a

x + z = b

2x + y + 3z = c

गुणांक आव्यूह है:

A =  और संवर्धित आव्यूह , [A|B] =  

आव्यूह का सारणिक [A] =  

R₃ = R₃ - R₁ - R₂ 

⇒ |A| =  = 0

∴ आव्यूह की कोटि 2 है

तो, हल अगर आव्यूह A की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है A|B = 2

⇒ [A|B] =  

R3 = R3 - R1 - R2 

[A|B] =  

 [A|B] की कोटि के लिए 2 होना चाहिए।

c - a - b = 0

c = a + b