द्रव्यमान m प्रति कण वाले दो विभेद्य अन्योन्यक्रियाहीन कण [0, a] अंतराल में स्थित एक विमीय अनंत वर्ग कूप में हैं। यदि x₁ तथा x₂ इन दो कणों के स्थिति संकारक हैं, तो जिस अवस्था में एक कण निम्नतम ऊर्जा अवस्था में तथा दूसरा प्रथम उत्तेजित अवस्था में है, उसका प्रत्याशा मान 〈x1x2〉 ________ है।

व्याख्या:

• प्रत्येक कण के लिए तरंग फलन को अनंत वर्ग कुएँ की ऊर्जा आइगेनस्टेट्स के संदर्भ में लिखा जा सकता है। एक कण (चौड़ाई a के एक-आयामी अनंत वर्ग कुएँ में) की मूल अवस्था और पहली उत्तेजित अवस्था इस प्रकार दी गई हैं:

\(\psi_0(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\) , मूल अवस्था के लिए, और

\(\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\) , पहली उत्तेजित अवस्था के लिए।

• स्थिति संचालकों \(x_1\) और \(x_2\) के गुणन के प्रत्याशा मान की गणना समाकल की सहायता से की जा सकती है:

\(\langle x_1 x_2 \rangle = \int dx_1 \int dx_2\) \(\psi_0(x_1)\psi_1(x_2) x_1 x_2 \psi_0(x_1) \psi_1(x_2)\),

• जहाँ समाकलन \(x_1\) और \(x_2\) दोनों के लिए [0, a] पर है।
• हालांकि, चूँकि कण अलग-अलग और बिना परस्पर क्रिया वाले हैं, हम लिख सकते हैं \(\langle x_1 x_2 \rangle = \langle x_1 \rangle \langle x_2 \rangle \), जो समाकलन को सरल करता है:

\(\langle x_1 \rangle = \int dx_1 \psi_0(x_1) x_1 \psi_0(x_1)\) , और \(\langle x_2 \rangle = \int dx_2 \psi_1(x_2) x_2 \psi_1(x_2)\)

• इन समाकलों की गणना देता है: \(\langle x_1 \rangle = \frac{a}{2}\), और \(\langle x_2 \rangle = \frac{a}{2}\)
• इसलिए, \(x_1\) और \( x_2\) के गुणन का प्रत्याशा मान केवल \(x_1\) और \(x_2\) के प्रत्याशा मानों का गुणनफल है: \(\langle x_1 x_2 \rangle = \langle x_1 \rangle \langle x_2 \rangle = \frac{a^2}{4}\)