दो संकारक (ऑपरेटर) A तथा B, क्रम विनिमेय संबंधों [H, A] = -ℏωB तथा [H, B] = ℏωA, को संतुष्ट करते हैं जहां ω एक नियतांक है तथा H समूह का हैमिल्टनी है। यदि अवस्था \(|ψ〉\) में t = 0 समय पर 〈A〉ψ(0) = 0 तथा 〈B〉ψ(0) = i हों, तब प्रत्याशा मान \(\left\langle A_ψ(t)=\langleψ|A| ψ〉\right.\) है

व्याख्या:

आइए समीकरणों के निकाय पर पुनर्विचार करें:

\(\frac{dA}{dt} = -iωB\) और \(\frac{dB}{dt} = iωA.\)

पहले समीकरण को फिर से अवकलित करके, \( \frac{d²A}{dt²} = -iω \frac{dB}{dt}.\)

• दूसरे समीकरण को इसमें प्रतिस्थापित करने पर \(\frac{d²A}{dt²} = -ω² A.\) प्राप्त होता है।
• यह अवकल समीकरण एक सरल आवर्त समीकरण है, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर के साथ: ω² के सामने कोई ऋणात्मक चिह्न नहीं है, जिससे अतिपरवलयिक हल प्राप्त होते हैं।
• विशेष रूप से, हमें किसी स्थिरांक C के लिए A(t) = Csinh(ωt) प्राप्त होता है।
• यह देखते हुए कि अपेक्षा मान \(〈A⟩_ψ(t) = 0\) t = 0 पर है, हमें \(C = 0.\) प्राप्त होता है।
• इस प्रकार, सामान्य रूप से, B(t) को cosh(ωt) के रूप में होना चाहिए, ताकि क्रमविनिमेय संबंधों को पूरा किया जा सके। अंत में, यह देखते हुए कि \(〈B⟩_ψ (0) = i,\) हमें cosh(ωt) को i से गुणा करने की आवश्यकता है।
• इसलिए, समय-विकसित अपेक्षा मान \( 〈A⟩_ψ(t) = 〈ψ|A(t)| ψ⟩ = 〈ψ|Csinh(ωt)| ψ⟩ = sinh(ωt)\) है।