निम्नलिखित में से कौन सा फलन एक मान्य स्थितिज फलन ( $ϕ$ ) है?

Question

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This question was previously asked in

SJVN ET Mechanical 2019 Official Paper

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Answer 1

संकल्पना:

एक फलन $ \phi(x, y) $ एक मान्य स्थितिज फलन होता है यदि इसके मिश्रित द्वितीय-क्रम आंशिक अवकलज समान हों:

$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} $

विकल्प की जाँच:

$ \phi(x, y) = y^3 - 3x^2y $

$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = -6xy \Rightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = -6x $

$ \frac{\partial \phi}{\partial y} = 3y^2 - 3x^2 \Rightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} = -6x $

चूँकि मिश्रित आंशिक अवकलज समान हैं, इसलिए फलन एक मान्य स्थितिज फलन है।