Characteristic Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Characteristic Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 23, 2025
Latest Characteristic Equation MCQ Objective Questions
Characteristic Equation Question 1:
एक प्रतिक्रिया प्रणाली स्थिर है, यदि s-तल के दाहिने आधे हिस्से में एक विशेषता समीकरण के शून्यों (Z) की संख्या हैं -
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 1 Detailed Solution
संकल्पना:
एक बंद-लूप वाली प्रणाली के स्थानांतरण फलन को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\( {C(s) \over R(s)} = {G\over 1+GH}\)
जहाँ, C(s) = आउटपुट
R(s) = इनपुट
G = अग्र पथ लाभ
H = प्रतिपुष्टि पथ लाभ
वर्णन:
- 1 + GH स्थानांतरण फलन का विशेषता समीकरण है।
- विशेषता समीकरण के मूल वास्तव में विशेषता समीकरण के शून्य होते हैं।
- प्रणाली के स्थिर होने के लिए S - तल के दाएँ पक्ष पर विशेषता समीकरण के शून्य की संख्या को 0 होना चाहिए।
Additional Information
- स्थानांतरण फलन के विशेषता समीकरण के शून्य या ध्रुव समान होते हैं।
- इसलिए प्रणाली के स्थिर होने के लिए S - तल के दाएँ पक्ष पर ध्रुवों की संख्या को शून्य होना चाहिए।
- यह प्रणाली के स्थिरता की दूसरी स्थिति है।
Characteristic Equation Question 2:
मूल लोकस कहाँ समाप्त होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 2 Detailed Solution
मूल लोकस:
1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।
2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।
3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:
यदि P ≥ Z है, तो N = P
यदि P ≤ Z है, तो = Z
4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।
\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।
6. अनन्तस्पर्शी का कोण:
\({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)
l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1
7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्य की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।
8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।
विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।
Characteristic Equation Question 3:
मूल पथ की निम्नलिखित विशेषताओं पर विचार कीजिए।
1. इसमें एक अनन्तस्पर्शी होता है।
2. इसमें jω-अक्ष के साथ एक प्रतिच्छेदन होता है।
3. इसमें दो वास्तविक अक्ष प्रतिच्छेदन होते हैं।
4. इसमें अनंत पर दो शून्य है।
प्रणाली \(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{K\left( {s + 6} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}}\) के लिए मूल पथ में क्या विशेषताएं होगी?
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
1) मूल पथ आरेख की प्रत्येक शाखा खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के ध्रुव पर प्रारंभ (K = 0) और शून्य पर खत्म (K = ∞) होती है।
2) मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।
3) मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न है:
यदि P ≥ Z है, तो N = P है।
यदि P ≤ Z है, तो = Z है।
4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
विश्लेषण:
दिया गया खुला-लूप स्थानांतरण फलन निम्न है:
\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{K\left( {s + 6} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}}\)
इसलिए, हमारे पास खुले-लूप वाले ध्रुव और शून्य निम्न रूप में हैं:
ध्रुव: s = -2 और s = -4
शून्य: s = -6
इसलिए, अनन्तस्पर्शी की संख्या निम्न होगा:
P – Z = 2 – 1 = 1
इसलिए, (1) में उल्लेखित विशेषताएं दी गयी प्रणाली के लिए सही है।
अब, प्रणाली के लिए विशेषता समीकरण को हल करके प्राप्त किया गया है:
1 + G(s)H(s) = 0
(s + 2) (s + 4) + K (s + 6) = 0
s2 + (6 + K) s + 8 + 6K = 0
विशेषता समीकरण के लिए, हम रूथ की सरणी निम्न रूप में बनाते हैं
|
s2 |
1 |
8 + 6K |
|
s1 |
6 + K |
|
|
s0 |
8 + 6K |
|
मूल पथ को K = 0 से ∞ के लिए अर्थात् K > 0 बनाया गया है।
यहाँ, K > 0 के लिए मूल पथ jω अक्ष को प्रतिच्छेदित नहीं करता है क्योंकि s1 पंक्ति शून्य नहीं होगी। अतः (2) में उल्लेखित विशेषता गलत है।
दी गयी प्रणाली के लिए हमारे पास दो ध्रुव और एक शून्य है। इसलिए, एक काल्पनिक शून्य अनंत में है। अतः (4) में उल्लेखित विशेषता गलत है।
अतः विकल्प (2) सही विकल्प होना चाहिए। लेकिन हम (2) में उल्लेखित विशेषता के लिए निम्न रूप में आगे जाँच करते हैं। हम दी गयी प्रणाली के लिए मूल पथ को निम्न रूप से बनाते हैं:
Characteristic Equation Question 4:
मूल लोकस कहाँ समाप्त होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 4 Detailed Solution
मूल लोकस:
1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।
2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।
3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:
यदि P ≥ Z है, तो N = P
यदि P ≤ Z है, तो = Z
4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।
\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।
6. अनन्तस्पर्शी का कोण:
\({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)
l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1
7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्य की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।
8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।
विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।
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एक प्रतिक्रिया प्रणाली स्थिर है, यदि s-तल के दाहिने आधे हिस्से में एक विशेषता समीकरण के शून्यों (Z) की संख्या हैं -
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक बंद-लूप वाली प्रणाली के स्थानांतरण फलन को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\( {C(s) \over R(s)} = {G\over 1+GH}\)
जहाँ, C(s) = आउटपुट
R(s) = इनपुट
G = अग्र पथ लाभ
H = प्रतिपुष्टि पथ लाभ
वर्णन:
- 1 + GH स्थानांतरण फलन का विशेषता समीकरण है।
- विशेषता समीकरण के मूल वास्तव में विशेषता समीकरण के शून्य होते हैं।
- प्रणाली के स्थिर होने के लिए S - तल के दाएँ पक्ष पर विशेषता समीकरण के शून्य की संख्या को 0 होना चाहिए।
Additional Information
- स्थानांतरण फलन के विशेषता समीकरण के शून्य या ध्रुव समान होते हैं।
- इसलिए प्रणाली के स्थिर होने के लिए S - तल के दाएँ पक्ष पर ध्रुवों की संख्या को शून्य होना चाहिए।
- यह प्रणाली के स्थिरता की दूसरी स्थिति है।
Characteristic Equation Question 6:
एक प्रतिक्रिया प्रणाली स्थिर है, यदि s-तल के दाहिने आधे हिस्से में एक विशेषता समीकरण के शून्यों (Z) की संख्या हैं -
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 6 Detailed Solution
संकल्पना:
एक बंद-लूप वाली प्रणाली के स्थानांतरण फलन को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\( {C(s) \over R(s)} = {G\over 1+GH}\)
जहाँ, C(s) = आउटपुट
R(s) = इनपुट
G = अग्र पथ लाभ
H = प्रतिपुष्टि पथ लाभ
वर्णन:
- 1 + GH स्थानांतरण फलन का विशेषता समीकरण है।
- विशेषता समीकरण के मूल वास्तव में विशेषता समीकरण के शून्य होते हैं।
- प्रणाली के स्थिर होने के लिए S - तल के दाएँ पक्ष पर विशेषता समीकरण के शून्य की संख्या को 0 होना चाहिए।
Additional Information
- स्थानांतरण फलन के विशेषता समीकरण के शून्य या ध्रुव समान होते हैं।
- इसलिए प्रणाली के स्थिर होने के लिए S - तल के दाएँ पक्ष पर ध्रुवों की संख्या को शून्य होना चाहिए।
- यह प्रणाली के स्थिरता की दूसरी स्थिति है।
Characteristic Equation Question 7:
मूल लोकस कहाँ समाप्त होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 7 Detailed Solution
मूल लोकस:
1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।
2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।
3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:
यदि P ≥ Z है, तो N = P
यदि P ≤ Z है, तो = Z
4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।
\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।
6. अनन्तस्पर्शी का कोण:
\({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)
l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1
7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्य की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।
8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।
विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।
Characteristic Equation Question 8:
मूल पथ की निम्नलिखित विशेषताओं पर विचार कीजिए।
1. इसमें एक अनन्तस्पर्शी होता है।
2. इसमें jω-अक्ष के साथ एक प्रतिच्छेदन होता है।
3. इसमें दो वास्तविक अक्ष प्रतिच्छेदन होते हैं।
4. इसमें अनंत पर दो शून्य है।
प्रणाली \(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{K\left( {s + 6} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}}\) के लिए मूल पथ में क्या विशेषताएं होगी?
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 8 Detailed Solution
संकल्पना:
1) मूल पथ आरेख की प्रत्येक शाखा खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के ध्रुव पर प्रारंभ (K = 0) और शून्य पर खत्म (K = ∞) होती है।
2) मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।
3) मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न है:
यदि P ≥ Z है, तो N = P है।
यदि P ≤ Z है, तो = Z है।
4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
विश्लेषण:
दिया गया खुला-लूप स्थानांतरण फलन निम्न है:
\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{K\left( {s + 6} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 4} \right)}}\)
इसलिए, हमारे पास खुले-लूप वाले ध्रुव और शून्य निम्न रूप में हैं:
ध्रुव: s = -2 और s = -4
शून्य: s = -6
इसलिए, अनन्तस्पर्शी की संख्या निम्न होगा:
P – Z = 2 – 1 = 1
इसलिए, (1) में उल्लेखित विशेषताएं दी गयी प्रणाली के लिए सही है।
अब, प्रणाली के लिए विशेषता समीकरण को हल करके प्राप्त किया गया है:
1 + G(s)H(s) = 0
(s + 2) (s + 4) + K (s + 6) = 0
s2 + (6 + K) s + 8 + 6K = 0
विशेषता समीकरण के लिए, हम रूथ की सरणी निम्न रूप में बनाते हैं
|
s2 |
1 |
8 + 6K |
|
s1 |
6 + K |
|
|
s0 |
8 + 6K |
|
मूल पथ को K = 0 से ∞ के लिए अर्थात् K > 0 बनाया गया है।
यहाँ, K > 0 के लिए मूल पथ jω अक्ष को प्रतिच्छेदित नहीं करता है क्योंकि s1 पंक्ति शून्य नहीं होगी। अतः (2) में उल्लेखित विशेषता गलत है।
दी गयी प्रणाली के लिए हमारे पास दो ध्रुव और एक शून्य है। इसलिए, एक काल्पनिक शून्य अनंत में है। अतः (4) में उल्लेखित विशेषता गलत है।
अतः विकल्प (2) सही विकल्प होना चाहिए। लेकिन हम (2) में उल्लेखित विशेषता के लिए निम्न रूप में आगे जाँच करते हैं। हम दी गयी प्रणाली के लिए मूल पथ को निम्न रूप से बनाते हैं:
Characteristic Equation Question 9:
मूल लोकस कहाँ समाप्त होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Characteristic Equation Question 9 Detailed Solution
मूल लोकस:
1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।
2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।
3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:
यदि P ≥ Z है, तो N = P
यदि P ≤ Z है, तो = Z
4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।
\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।
6. अनन्तस्पर्शी का कोण:
\({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)
l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1
7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्य की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।
8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।
विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।