Break Points MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Break Points - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

मूल बिन्दुपथ एक ग्राफिकल विधि है जो DC लाभ (K) जैसे कुछ प्रणाली पैरामीटर के संबंध में प्रणाली के मूलों की भिन्नता को दर्शाता है।

व्याख्या:

1. विराम बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक ध्रुवों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक शून्य की ओर विचलन करते हैं।
2. अंतराल बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक शून्यों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक ध्रुवों की ओर विचलन करते हैं।
3. केन्द्रक: यह वास्तविक अक्ष पर वह बिंदु है जहां सभी स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन एक मूल बिन्दुपथ में होता है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण: अनन्तस्पर्शी केंद्रक से उत्पन्न होता है और किसी कोण पर अनंत तक जाता है। कोण को अनन्तस्पर्शी कोण के रूप में जाना जाता है।

संकल्पना:

1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।

2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।

3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:

यदि P ≥ Z है, तो N = P 

यदि P ≤ Z है, तो = Z 

4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|

5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।

ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।

6. अनन्तस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1

7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।

8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।

विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।

गणना:

\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

ध्रुव शून्य प्लॉट और वास्तविक अक्ष के वर्गों को आकृति में दिखाया गया है।

0 और -1 और -2 और -3 के बीच के खंड मूल-पथ के हिस्से हैं।

अभिलक्षण समीकरण:

\(1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = 0\)

⇒ s4 + 6s3 + 11s2 + 6s + K = 0

⇒ K = -s4 - 6s3 – 11s2 – 6s

\(\frac{{dk}}{{ds}} = - 4{s^3} - 18{s^2} - 22s - 6 = 0\)

⇒ (s + 1.5) (4s2 + 12s + 4) = 0

⇒ s = -1.5, -0.381, -0.2,619

लेकिन जैसा कि s = -1 और s = -2 के बीच कोई मूल-पथ नहीं है, s = -1.5 मान्य भंग बिंदु नहीं हो सकता है।

यदि s = -0.381 है, तो K = 1

यदि s = -2.619 है, तो K = 1

दोनों मान्य भंग बिंदु हैं, K = 1 पर एक साथ होते हैं।

1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।

2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।

3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:

यदि P ≥ Z है, तो N = P 

यदि P ≤ Z है, तो = Z 

4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|

5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।

ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।

6. अनन्तस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1

7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।

8. ब्रेक इन/अवे बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।

विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।

यदि एक मूल बिन्दुपथ शाखा खुले लूप ध्रुव से वास्तविक अक्ष के अनुदिश शून्य या अनंत तक चलती है, तो इस मूल बिन्दुपथ शाखा को वास्तविक मूल शाखा कहा जाता है।

संकल्पना:

जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं, तो विच्छेद बिंदु मौजूद होते हैं।

अवरोध बिंदु पर लब्धि K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) के मूल अवरोध बिंदु हैं।

गणना:

अभिलक्षणिक समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

1+ OLTF = 0, अर्थात

\(\;1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = 0\)

\(\Rightarrow \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = - 1\)

⇒ K = -s(s2 + 3s + 2)

⇒ K = -s3 - 3s2 - 2s

\(\Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = - 3{s^2} - 6s - 2 = 0\)

⇒ 3s2 + 6s + 2 = 0

\(s = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 24} }}{6} \)

\(s= \frac{{ - 6 \pm \sqrt {12} }}{6} = \frac{{ - 6 + \sqrt {12} }}{6}\)

\(s= - 0.422\)

• मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा एक ध्रुव से शुरू होती है (K = 0) और एक शून्य पर समाप्त होती है (K = ∞) विवृत-लूप अंतरण फलन का।
• मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित है।
• शाखाओं की संख्या मूल बिंदुपथ आरेख में:

N = P यदि P ≥ Z

= Z, यदि P ≤ Z

• अनंतस्पर्शी की संख्या एक मूल बिंदुपथ आरेख में = |P - Z|
• केन्द्रक: यह अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु है और हमेशा वास्तविक अक्ष पर स्थित होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है

ΣZi G(s)H(s) के परिमित शून्यों के वास्तविक भागों का योग है

• अनंतस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P - Z| - 1

• किसी भी खंड के दाईं ओर वास्तविक अक्ष पर, यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम है, तो उस खंड में मूल बिंदुपथ आरेख मौजूद है।

संकल्पना:

मूल बिन्दुपथ एक ग्राफिकल विधि है जो DC लाभ (K) जैसे कुछ प्रणाली पैरामीटर के संबंध में प्रणाली के मूलों की भिन्नता को दर्शाता है।

व्याख्या:

1. विराम बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक ध्रुवों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक शून्य की ओर विचलन करते हैं।
2. अंतराल बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक शून्यों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक ध्रुवों की ओर विचलन करते हैं।
3. केन्द्रक: यह वास्तविक अक्ष पर वह बिंदु है जहां सभी स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन एक मूल बिन्दुपथ में होता है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण: अनन्तस्पर्शी केंद्रक से उत्पन्न होता है और किसी कोण पर अनंत तक जाता है। कोण को अनन्तस्पर्शी कोण के रूप में जाना जाता है।

1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।

2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।

3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:

यदि P ≥ Z है, तो N = P 

यदि P ≤ Z है, तो = Z 

4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|

5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।

ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।

6. अनन्तस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1

7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।

8. ब्रेक इन/अवे बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।

विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।

यदि एक मूल बिन्दुपथ शाखा खुले लूप ध्रुव से वास्तविक अक्ष के अनुदिश शून्य या अनंत तक चलती है, तो इस मूल बिन्दुपथ शाखा को वास्तविक मूल शाखा कहा जाता है।

संकल्पना:

जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं, तो विच्छेद बिंदु मौजूद होते हैं।

अवरोध बिंदु पर लब्धि K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) के मूल अवरोध बिंदु हैं।

गणना:

अभिलक्षणिक समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

1+ OLTF = 0, अर्थात

\(\;1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = 0\)

\(\Rightarrow \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = - 1\)

⇒ K = -s(s2 + 3s + 2)

⇒ K = -s3 - 3s2 - 2s

\(\Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = - 3{s^2} - 6s - 2 = 0\)

⇒ 3s2 + 6s + 2 = 0

\(s = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 24} }}{6} \)

\(s= \frac{{ - 6 \pm \sqrt {12} }}{6} = \frac{{ - 6 + \sqrt {12} }}{6}\)

\(s= - 0.422\)

• मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा एक ध्रुव से शुरू होती है (K = 0) और एक शून्य पर समाप्त होती है (K = ∞) विवृत-लूप अंतरण फलन का।
• मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित है।
• शाखाओं की संख्या मूल बिंदुपथ आरेख में:

N = P यदि P ≥ Z

= Z, यदि P ≤ Z

• अनंतस्पर्शी की संख्या एक मूल बिंदुपथ आरेख में = |P - Z|
• केन्द्रक: यह अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु है और हमेशा वास्तविक अक्ष पर स्थित होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है

ΣZi G(s)H(s) के परिमित शून्यों के वास्तविक भागों का योग है

• अनंतस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P - Z| - 1

• किसी भी खंड के दाईं ओर वास्तविक अक्ष पर, यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम है, तो उस खंड में मूल बिंदुपथ आरेख मौजूद है।

\(G\left( s \right) = \frac{{k\left( {s + b} \right)}}{{{s^2}\left( {s + 20} \right)}}\)

अभिलक्षण समीकरण: 1 + G(s) H(s) = 0

\( \Rightarrow 1 + \frac{{k\left( {s + b} \right)}}{{{s^2}\left( {s + 20} \right)}} = 0\)

\( \Rightarrow k = \frac{{ - \left( {{s^3} + 20{s^2}} \right)}}{{\left( {s + b} \right)}}\)

\(\frac{{dk}}{{ds}} = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{\left( {s + b} \right)\left( {3{s^2} + 40s} \right) - \left( {{s^3} + 20{s^2}} \right)\left( 1 \right)}}{{{{\left( {s + b} \right)}^2}}} = 0\)

⇒ 3s³ + 3bs²+ 40s² + 40bs – s³ – 20s² = 0

⇒ 2s³ + (3b + 20) s² + 40 bs = 0

⇒ s (2s² + (3b + 20) s + 40b) = 0

⇒ s = 0 और 2s² + (3b + 20) s + 40b = 0

एकल बिंदु होने पर,

(3b + 20)² – 4(2) (40b) = 0

⇒ 9b² + 400 + 120b – 320b = 0

⇒ 9b² – 200b + 400 = 0

\( \Rightarrow b = 20,\frac{{20}}{9}\)

b = 20 के लिए, ध्रुव और शून्य निष्क्रय हो जाते है।

संकल्पना:

1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।

2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।

3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:

यदि P ≥ Z है, तो N = P 

यदि P ≤ Z है, तो = Z 

4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|

5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।

ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।

6. अनन्तस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1

7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।

8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।

विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।

गणना:

\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

ध्रुव शून्य प्लॉट और वास्तविक अक्ष के वर्गों को आकृति में दिखाया गया है।

0 और -1 और -2 और -3 के बीच के खंड मूल-पथ के हिस्से हैं।

अभिलक्षण समीकरण:

\(1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = 0\)

⇒ s4 + 6s3 + 11s2 + 6s + K = 0

⇒ K = -s4 - 6s3 – 11s2 – 6s

\(\frac{{dk}}{{ds}} = - 4{s^3} - 18{s^2} - 22s - 6 = 0\)

⇒ (s + 1.5) (4s2 + 12s + 4) = 0

⇒ s = -1.5, -0.381, -0.2,619

लेकिन जैसा कि s = -1 और s = -2 के बीच कोई मूल-पथ नहीं है, s = -1.5 मान्य भंग बिंदु नहीं हो सकता है।

यदि s = -0.381 है, तो K = 1

यदि s = -2.619 है, तो K = 1

दोनों मान्य भंग बिंदु हैं, K = 1 पर एक साथ होते हैं।

संकल्पना:

मूल बिन्दुपथ एक ग्राफिकल विधि है जो DC लाभ (K) जैसे कुछ प्रणाली पैरामीटर के संबंध में प्रणाली के मूलों की भिन्नता को दर्शाता है।

व्याख्या:

1. विराम बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक ध्रुवों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक शून्य की ओर विचलन करते हैं।
2. अंतराल बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक शून्यों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक ध्रुवों की ओर विचलन करते हैं।
3. केन्द्रक: यह वास्तविक अक्ष पर वह बिंदु है जहां सभी स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन एक मूल बिन्दुपथ में होता है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण: अनन्तस्पर्शी केंद्रक से उत्पन्न होता है और किसी कोण पर अनंत तक जाता है। कोण को अनन्तस्पर्शी कोण के रूप में जाना जाता है।

1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।

2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।

3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:

यदि P ≥ Z है, तो N = P 

यदि P ≤ Z है, तो = Z 

4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|

5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।

ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।

6. अनन्तस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1

7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।

8. ब्रेक इन/अवे बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।

विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।

यदि एक मूल बिन्दुपथ शाखा खुले लूप ध्रुव से वास्तविक अक्ष के अनुदिश शून्य या अनंत तक चलती है, तो इस मूल बिन्दुपथ शाखा को वास्तविक मूल शाखा कहा जाता है।

संकल्पना:

जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं, तो विच्छेद बिंदु मौजूद होते हैं।

अवरोध बिंदु पर लब्धि K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) के मूल अवरोध बिंदु हैं।

गणना:

अभिलक्षणिक समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

1+ OLTF = 0, अर्थात

\(\;1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = 0\)

\(\Rightarrow \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = - 1\)

⇒ K = -s(s2 + 3s + 2)

⇒ K = -s3 - 3s2 - 2s

\(\Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = - 3{s^2} - 6s - 2 = 0\)

⇒ 3s2 + 6s + 2 = 0

\(s = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 24} }}{6} \)

\(s= \frac{{ - 6 \pm \sqrt {12} }}{6} = \frac{{ - 6 + \sqrt {12} }}{6}\)

\(s= - 0.422\)

• मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा एक ध्रुव से शुरू होती है (K = 0) और एक शून्य पर समाप्त होती है (K = ∞) विवृत-लूप अंतरण फलन का।
• मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित है।
• शाखाओं की संख्या मूल बिंदुपथ आरेख में:

N = P यदि P ≥ Z

= Z, यदि P ≤ Z

• अनंतस्पर्शी की संख्या एक मूल बिंदुपथ आरेख में = |P - Z|
• केन्द्रक: यह अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु है और हमेशा वास्तविक अक्ष पर स्थित होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है

ΣZi G(s)H(s) के परिमित शून्यों के वास्तविक भागों का योग है

• अनंतस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P - Z| - 1

• किसी भी खंड के दाईं ओर वास्तविक अक्ष पर, यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम है, तो उस खंड में मूल बिंदुपथ आरेख मौजूद है।

संकल्पना:

• संबंध-विच्छेद और अवरोध बिंदु प्राप्त करने की सामान्य विधि अवकलन का प्रयोग करके अर्थात् \(\frac{{dK}}{{ds}}\) को शून्य के बराबर करके लाभ K को बढ़ाना और कम करना है और s के लिए हल करने पर हमें संभव संबंध-विच्छेद और अवरोध बिंदु प्राप्त होता है।
• लाभ K संबंध-विच्छेद बिंदु पर अधिकतम और अवरोध बिंदु पर न्यूनतम होगा।
• लाभ K के लिए उस बिंदु को अवरोध बिंदु के रूप में जाना जाता है जिस पर कई मूल मौजूद होते हैं। ये:\( \Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = 0\) से प्राप्त होते हैं।

गणना:

प्रणाली का खुला-लूप वाला ध्रुव-शून्य आलेख दिया गया है। दिए गए आलेख से हमारे पास निम्न रूप में शून्य और ध्रुव हैं:

शून्य: s = 1 + j और s = 1 – j 

ध्रुव: s = -2 और s = -3 

इसलिए, प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न रूप में प्राप्त होता है;

\(H\left( s \right)G\left( s \right) = \frac{{K\left\{ {\left( {s\left( {1 + j} \right)} \right)\left( {s - \left( {1 - j} \right)} \right)} \right\}}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{K\left( {s - 1 - j} \right)\left( {s - 1 + j} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{K\left[ {{{\left( {s - 1} \right)}^2} - {{\left( j \right)}^2}} \right]}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

\( \Rightarrow G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{K\left( {{{\left( {s + 1} \right)}^2} + 1} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = \frac{{K\left( {{s^2} - 2 + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

विशेषता समीकरण 1 + G(s).H(s) = 0 है। 

अर्थात् \(1 + \frac{{K\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{K\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = - 1\)

\( \Rightarrow K = \frac{{ - \left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}{{{s^2} - 2s + 2}} = \frac{{ - \left( {{s^2} + 5s + 6} \right)}}{{{s^2} - 2s + 2}}\)

\(\frac{{dK}}{{ds}} = 0\) के लिए हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\( \Rightarrow \frac{{ - \left[ {\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)\left( {2s + 5} \right) - \left( {{s^2} + 5s + 6} \right)\left( {2s - 2} \right)} \right]}}{{{{\left( {{s^2} + 2s + 2} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{2{s^3} + 5{s^2} - 4{s^2} - 10s + 4s + 10 - 2{s^3} + 2{s^2} - 10{s^2} + 10s - 12s + 12}}{{{{\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)}^2}}} = 0\)

⇒ s² – 8s² – 10s + 4s – 2s + 22 = 0

⇒ -7s² – 12 s + 4 s + 22 = 0

⇒ 7s² + 8 s - 22 s = 0

⇒ s = +1.29 और s = -2.43

चूँकि बिंदु s = -2.43 लाभ K के लिए उच्चिष्ट है,

अतः s = -2.43 संबंध-विच्छेद बिंदु है।