Collinearity of Three Points MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Collinearity of Three Points - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

\(1\over2\) ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।

संकल्पना:

यदि तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित क्षेत्रफल 0 है तो तीन बिंदु संरेख हैं।

गणना:

माना दिए गए बिंदु A(1, 1) = (x1, y1) हैं

B(–1,–1) = (x₂, y₂)

C\((\sqrt3, \sqrt3)\) = (x₃, y₃)

∴ ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

= \(\frac{1}{2}\)|1(-1 - \(\sqrt{3}\)) - (\(\sqrt{3}\) - 1) + \(\sqrt{3}\)(1 - (-1)|

= \(\frac{1}{2}\)|- 1 - \(\sqrt{3}\) - \(\sqrt{3}\) + 1 + 2\(\sqrt{3}\)|

= ​0​

⇒ बिंदु संरेख हैं

∴ (1, 1), (–1,–1) और \((\sqrt3, \sqrt3)\) संरेख बिन्दु हैं।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

\(1\over2\) ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

\(1\over2\) ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।

संकल्पना:

यदि तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित क्षेत्रफल 0 है तो तीन बिंदु संरेख हैं।

गणना:

माना दिए गए बिंदु A(1, 1) = (x1, y1) हैं

B(–1,–1) = (x₂, y₂)

C\((\sqrt3, \sqrt3)\) = (x₃, y₃)

∴ ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

= \(\frac{1}{2}\)|1(-1 - \(\sqrt{3}\)) - (\(\sqrt{3}\) - 1) + \(\sqrt{3}\)(1 - (-1)|

= \(\frac{1}{2}\)|- 1 - \(\sqrt{3}\) - \(\sqrt{3}\) + 1 + 2\(\sqrt{3}\)|

= ​0​

⇒ बिंदु संरेख हैं

∴ (1, 1), (–1,–1) और \((\sqrt3, \sqrt3)\) संरेख बिन्दु हैं।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा :

यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल (A): \(A=\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

गणना:

यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय हैं

माना कि

x1 = 5, y1 = -2,

x2 = 8, y2 = -3,

x3 = a, y3 = -12.

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल =    \(A= \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

\(⇒ A = \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{5}}&{{-2}}&1\\ {{8}}&{{-3}}&1\\ {{a}}&{{-12}}&1 \end{array}} \right|\)

2A = 5 (-3 + 12) + 2(8 - a) + 1(-96 + 3a)

2A = 45 + 16 - 2a - 96 + 3a

2A = a - 35  

⇒ A = (a - 35)/2

∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

⇒ (a - 35)/2 = 0

⇒ a = 35

इसलिए विकल्प D सही उत्तर है।

Alternate Method

अवधारणा:

तीन या अधिक बिंदु संरेखीय है यदि अंकों के किसी भी दो जोड़े का ढलान समान है।

गणना:

माना, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12)

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान (∵ बिन्दुं संरेखीय हैं)

\(\rm \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{a-8}\\ ⇒ \frac{-1}{3}=\frac{-9}{a-8}\)

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

यदि बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं, तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल शून्य है। 

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 1 2[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\)

गणना:

दिए गए बिंदु A = (k, 2k) = (x1, y1), B = (3k, 3k) = (x2, y2) और C = (3, 1) = (x3, y3) संरेखीय हैं। 

यदि बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं, तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल शून्य है। 

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 1 2[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\)

⇒ 0 = \(\rm \dfrac 1 2[k(3k-1)+3k(1 - 2k)+ 3(2k - 3k)]\)

⇒ 0 = \(\rm [3k^2-k+3k- 6k^2- 3k)]\)

⇒ 0 = \(\rm [-3k^2-k]\)

⇒ k = \(-\dfrac{1}{3}\)

अतः बिंदु बिंदु (k, 2k); (3k, 3k) और (3, 1) संरेखीय हैं, तो k का मान = \(-\dfrac{1}{3}\)है। 

संकल्पना:

1. यदि तीन बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) संरेखीय हैं, तो तीनों बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{x}}_1}}&{{{\rm{y}}_1}}&1\\ {{{\rm{x}}_2}}&{{{\rm{y}}_2}}&1\\ {{{\rm{x}}_3}}&{{{\rm{y}}_3}}&1 \end{array}} \right|{\rm{\;}} = {\rm{\;}}0\)

2. यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु संरेखीय होते हैं, तो बिंदुओं के किसी दो युग्मों की प्रवणता समान होती है।

उदाहरण के लिए, माना कि तीन बिंदु A, B और C संरेखीय हैं, तो

AB का प्रवणता = BC का प्रवणता = AC का प्रवणता 

यदि दो बिंदु \(({{\rm{x}}_1},{{\rm{y}}_1}){\rm{\;and\;}}\left( {{{\rm{x}}_2},{\rm{\;}}{{\rm{y}}_2}} \right)\) है, तो रेखा के प्रवणता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\Rightarrow \left( {\bf{m}} \right) = \;\frac{{{{\bf{y}}_2} - {{\bf{y}}_1}}}{{{{\bf{x}}_2} - {{\bf{x}}_1}}}{\rm{\;}}\)

गणना:

दिया गया है,
(x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेखीय है

⇒ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{x}}}}&{{-1}}&1\\ {{2}}&{{1}}&1\\ {{4}}&{{5}}&1 \end{array}} \right|{\rm{\;}} = {\rm{\;}}0\)

⇒ x[1×1 - 1×5] + 1[2×1 - 4×1] + 1[2×5 - 1×4] = 0

⇒ -4x - 2 + 6 = 0

⇒ -4x = -4

⇒ x = 1

अवधारणा :

यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल (A): \(A=\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

गणना:

यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय हैं

माना कि

x1 = 5, y1 = -2,

x2 = 8, y2 = -3,

x3 = a, y3 = -12.

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल =    \(A= \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

\(⇒ A = \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{5}}&{{-2}}&1\\ {{8}}&{{-3}}&1\\ {{a}}&{{-12}}&1 \end{array}} \right|\)

2A = 5 (-3 + 12) + 2(8 - a) + 1(-96 + 3a)

2A = 45 + 16 - 2a - 96 + 3a

2A = a - 35  

⇒ A = (a - 35)/2

∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

⇒ (a - 35)/2 = 0

⇒ a = 35

इसलिए विकल्प D सही उत्तर है।

Alternate Method

अवधारणा:

तीन या अधिक बिंदु संरेखीय है यदि अंकों के किसी भी दो जोड़े का ढलान समान है।

गणना:

माना, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12)

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान (∵ बिन्दुं संरेखीय हैं)

\(\rm \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{a-8}\\ ⇒ \frac{-1}{3}=\frac{-9}{a-8}\)

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

यदि बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं, तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल शून्य है। 

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 1 2[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\)

गणना:

दिए गए बिंदु A = (k, 2k) = (x1, y1), B = (3k, 3k) = (x2, y2) और C = (3, 1) = (x3, y3) संरेखीय हैं। 

यदि बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं, तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल शून्य है। 

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 1 2[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\)

⇒ 0 = \(\rm \dfrac 1 2[k(3k-1)+3k(1 - 2k)+ 3(2k - 3k)]\)

⇒ 0 = \(\rm [3k^2-k+3k- 6k^2- 3k)]\)

⇒ 0 = \(\rm [-3k^2-k]\)

⇒ k = \(-\dfrac{1}{3}\)

अतः बिंदु बिंदु (k, 2k); (3k, 3k) और (3, 1) संरेखीय हैं, तो k का मान = \(-\dfrac{1}{3}\)है। 

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

\(1\over2\) ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।

संकल्पना:

1. यदि तीन बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) संरेखीय हैं, तो तीनों बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{x}}_1}}&{{{\rm{y}}_1}}&1\\ {{{\rm{x}}_2}}&{{{\rm{y}}_2}}&1\\ {{{\rm{x}}_3}}&{{{\rm{y}}_3}}&1 \end{array}} \right|{\rm{\;}} = {\rm{\;}}0\)

2. यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु संरेखीय होते हैं, तो बिंदुओं के किसी दो युग्मों की प्रवणता समान होती है।

उदाहरण के लिए, माना कि तीन बिंदु A, B और C संरेखीय हैं, तो

AB का प्रवणता = BC का प्रवणता = AC का प्रवणता 

यदि दो बिंदु \(({{\rm{x}}_1},{{\rm{y}}_1}){\rm{\;and\;}}\left( {{{\rm{x}}_2},{\rm{\;}}{{\rm{y}}_2}} \right)\) है, तो रेखा के प्रवणता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\Rightarrow \left( {\bf{m}} \right) = \;\frac{{{{\bf{y}}_2} - {{\bf{y}}_1}}}{{{{\bf{x}}_2} - {{\bf{x}}_1}}}{\rm{\;}}\)

गणना:

दिया गया है,
(x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेखीय है

⇒ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{x}}}}&{{-1}}&1\\ {{2}}&{{1}}&1\\ {{4}}&{{5}}&1 \end{array}} \right|{\rm{\;}} = {\rm{\;}}0\)

⇒ x[1×1 - 1×5] + 1[2×1 - 4×1] + 1[2×5 - 1×4] = 0

⇒ -4x - 2 + 6 = 0

⇒ -4x = -4

⇒ x = 1

संकल्पना:

यदि तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित क्षेत्रफल 0 है तो तीन बिंदु संरेख हैं।

गणना:

माना दिए गए बिंदु A(1, 1) = (x1, y1) हैं

B(–1,–1) = (x₂, y₂)

C\((\sqrt3, \sqrt3)\) = (x₃, y₃)

∴ ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

= \(\frac{1}{2}\)|1(-1 - \(\sqrt{3}\)) - (\(\sqrt{3}\) - 1) + \(\sqrt{3}\)(1 - (-1)|

= \(\frac{1}{2}\)|- 1 - \(\sqrt{3}\) - \(\sqrt{3}\) + 1 + 2\(\sqrt{3}\)|

= ​0​

⇒ बिंदु संरेख हैं

∴ (1, 1), (–1,–1) और \((\sqrt3, \sqrt3)\) संरेख बिन्दु हैं।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

\(1\over2\) ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

\(1\over2\) ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।