De Broglie’s Explanation of Bohr’s Second Postulate of Quantisation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for De Broglie’s Explanation of Bohr’s Second Postulate of Quantisation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही विकल्प: (3) r ∝ n^2/3, v ∝ n^1/3 है। 

दिया गया है, बल नियत है

F = mv² / r

⇒ v² / r = नियतांक

⇒ r ∝ v² ...(1)

L = mvr = nh / 2π ...(2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) को हल करने पर:

v ∝ n^1/3 और r ∝ n^2/3

व्याख्या:

फोटॉन के लिए,

(i) ऊर्जा E = h v ⇒ (कथन A सही है)

(ii) सभी फोटॉन प्रकाश की गति (मुक्त स्थान में c) से यात्रा करते हैं कथन B सही है

(iii) फोटॉन का संवेग। p = hv / c, कथन C सही है।

(iv) फोटॉन-इलेक्ट्रॉन टक्कर में, कुल ऊर्जा और कुल संवेग संरक्षित रहते हैं, कथन D भी सही है।

(v) फोटॉन द्रव्यमान रहित होते हैं और कोई भी आवेश नहीं रखते हैं, कथन E गलत है।

∴ सही विकल्प 2) है

गणना:

एक मुक्त कण की दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य और ऊर्जा का संबंध

λ² = h √ 2 m E

λ² = h²/2 m E

1/λ² = 2 mE/h2

∴ सही विकल्प 4) है

गणना:

डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य

\(\lambda=\frac{h}{p}\)

\(\Rightarrow \lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m K}}\)

जहां K : गतिज ऊर्जा

⇒ कुछ K के लिए,

⇒ \(\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}\)

चूँकि m_α > mn > mp > me

⇒ λα < λn < λp < λe

∴ सही संबंध  λα < λn < λp < λe है।

संप्रत्यय:

दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य और गतिज ऊर्जा:

किसी कण की दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य निम्न समीकरण द्वारा दी जाती है:

\( \lambda = \frac{h}{p} \)

जहाँ:

\( \lambda \)  दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य है।

\( h \) प्लांक नियतांक है।

\( p \)  कण का संवेग है।

एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन की दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य समान होने के लिए, उनके संवेग समान होने चाहिए:

\( p_e = p_p \)

जहाँ:

\( p_e \)  इलेक्ट्रॉन का संवेग है।

\( p_p \)  प्रोटॉन का संवेग है।

गणना:

किसी कण का संवेग उसकी गतिज ऊर्जा (K.E.) से निम्न समीकरण द्वारा संबंधित है:

\( p = \sqrt{2m \cdot \text{K.E.}} \)

जहाँ:

\( m \)  कण का द्रव्यमान है।

\( \text{K.E.} \) कण की गतिज ऊर्जा है।

चूँकि संवेग समान हैं, हम लिख सकते हैं:

\( \sqrt{2m_e \cdot \text{K.E.}_e} = \sqrt{2m_p \cdot \text{K.E.}_p} \)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें मिलता है:

\( 2m_e \cdot \text{K.E.}_e = 2m_p \cdot \text{K.E.}_p \)

2 से भाग देने पर, हमारे पास है:

\( m_e \cdot \text{K.E.}_e = m_p \cdot \text{K.E.}_p \)

इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:

\( \text{K.E.}_e = \frac{m_p}{m_e} \cdot \text{K.E.}_p \)

चूँकि प्रोटॉन का द्रव्यमान (\( m_p \)) इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान (\( m_e \)) से काफी अधिक है, इसलिए यह इस प्रकार है:

\( \text{K.E.}_e > \text{K.E.}_p \)

∴ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा से अधिक है।

अवधारणा:

• डी ब्रोगली इलेक्ट्रॉनों की तरंग दैर्ध्य: लुई डी ब्रोगली ने सिद्धांत दिया कि केवल प्रकाश में न तरंग और कण दोनों गुण होते हैं, बल्कि द्रव्यमान वाले कण - जैसे इलेक्ट्रॉन - भी ऐसा करते हैं।
  • भौतिक तरंगों की तरंग दैर्ध्य को डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य के रूप में भी जाना जाता है ।
• इलेक्ट्रॉनों की डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य की गणना कण के संवेग से विभाजित प्लैंक स्थिरांक h से की जा सकती है।

λ = h/p

जहां λ डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है, h प्लैंक का स्थिरांक है, और p संवेग है।

ऊर्जा के संदर्भ में डी ब्रोगली इलेक्ट्रॉनों की तरंग दैर्ध्य:

\(λ=\frac{h}{\sqrt{2mE}}\)

जहां λ डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है, h प्लैंक का स्थिरांक है, m एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है, और E इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा है।

• विद्युत स्थितिज ऊर्जा: यदि एक आवेश q को विद्युत विभव V में रखा जाता है तो विद्युत स्थितिज ऊर्जा

U = E = qV

जहाँ U या E विद्युत विभव ऊर्जा है, q आवेश है, और V विद्युत विभव है।

गणना :

\(λ=\frac{h}{\sqrt{2mE}}\)

\(λ=\frac{h}{\sqrt{2mqV}}\)

\(λ_1=\frac{h}{\sqrt{2m_pq_pV}}\)

m_p और q_p प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश है।

\(λ_2=\frac{h}{\sqrt{2m_α q_α V}}\)

mα और qα अल्फा कण का द्रव्यमान और आवेश है।

\(\frac{λ_1}{\lambda_2}=\sqrt\frac{m_\alpha q_\alpha}{m_pq_p}\)

4mp = mα और 2qp = qα

\(\frac{λ_1}{\lambda_2}=\sqrt\frac{4m_p 2q_p}{m_pq_p}\)

\(\frac{λ_1}{\lambda_2}=\sqrt8\)

\(\frac{λ_1}{\lambda_2}=2\sqrt2\)

तो, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

डी ब्रोगली ने यह प्रस्तावित किया कि संवेग p के एक kn के साथ संबंधित तरंगदैर्ध्य λ को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{{mv}}\)

जहाँ m कण का द्रव्यमान है और c इसकी गति है। प्लैंक स्थिरांक, h = 6.623 × 10^-34 Js,

उपरोक्त समीकरण को डी ब्रोगली संबंध के रूप में जाना जाता है और सामग्री-तरंग के तरंगदैर्ध्य λ को डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य कहा जाता है। 

इसलिए, डी ब्रोगली समीकरण का महत्व इस तथ्य में है कि यह कण की प्रकृति को सामग्री की तरंग प्रकृति से जोड़ता है। 

Important Points

प्लैंक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार फोटॉन की ऊर्जा को E = hν के रूप में वर्णित किया गया है।

आइंस्टीन के द्रव्यमान ऊर्जा संबंध के अनुसार, E = mc²

आवृत्ति v को तरंगदैर्ध्य λ के संदर्भ में निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है, ν = c/λ 

hν = mc² ⇒ hν/c = mc ⇒ λ = h/mc, (यह समीकरण फोटॉन के लिए लागू होता है।)

गणना:

दिया गया है:

m = 9.11 × 10-31 kg, v = 6 × 107 m/s

\(\lambda = \frac{h}{{mv}} = \frac{{6.623 \times {{10}^{ - 34}}}}{{9.11 \times {{10}^{ - 31}} \times 6 \times {{10}^7}}} = 1.21 \times {10^{ - 11}}m = 0.121 \) Å

अवधारणा:

डी-ब्रोगली परिकल्पना के अनुसार, कण तरंगों के रूप में व्यवहार करते हैं और इन्हें पदार्थ तरंग कहा जाता है। कण की तरंग दैर्ध्य को डी-ब्रोगली तरंगदैर्ध्य कहा जाता है और इसे निम्न द्वारा दिया जाता है

\(⇒\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}\)

जहाँ m = आवेशित कण का द्रव्यमान और KE = गतिज ऊर्जा

गणना:

डी-ब्रोगली तरंग दैर्ध्य को निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(⇒\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}\)

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें यह मिलता है:

\(⇒ KE = \frac{h^{2}}{2m\lambda^{2}}\)

इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है

\(⇒ KE_{e} = \frac{h^{2}}{2m_{e} \lambda^{2}}\) -----(1)

प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है

\(⇒ KE_{p} = \frac{h^{2}}{2m_{p} \lambda^{2}}\) -----(2) 

• समीकरण 1 और समीकरण 2 को भाग देने पर:

\( ⇒ \frac{KE_{e}}{KE_{p}}=\frac{m_{p}}{m_{e}}\)

जैसा कि हम जानते हैं,

⇒ m_P > m_e

इसलिए, KE_e > KE_p

इसलिए, विकल्प 3 उत्तर है

अवधारणा:

द्रव्य तरंगें (डी-ब्रोगली तरंगें ): डी-ब्रोगली के अनुसार एक गतिमान पदार्थ कण कभी तरंग के रूप में और कभी कण के रूप में कार्य करता है।

गतिमान द्रव्य कण के साथ एक तरंग जुड़ी होती है जो इसे हर स्थिति मे नियंत्रित करती है। 

व्याख्या:

डी-ब्रोगली तरंग दैर्ध्य: डी-ब्रोगली सिद्धांत के अनुसार, डे-ब्रोगली तरंग की तरंग दैर्ध्य इस प्रकार होगी-

\(\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{{mv}} = \frac{h}{{\sqrt {2mE} }}\)

इस प्रकार ,

\(\Rightarrow \lambda \propto \frac{1}{p} \propto \frac{1}{v} \propto \frac{1}{{\sqrt E }}\)

जहाँ h = प्लांक स्थिरांक, m = कण का द्रव्यमान, v = कण की गति, E = कण की ऊर्जा

ऊपर से यह स्पष्ट है कि इलेक्ट्रॉन की तरंग दैर्ध्य गतिज ऊर्जा के विलोम आनुपातिक है। इसलिए, जब एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है, तो संबंधित तरंग की तरंगदैर्घ्य कम हो जाएगी। इसलिए विकल्प 2 सही है।

सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य जिसकी माप संभव है वह γ -किरण है।

इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, α -कण, आदि जैसे सूक्ष्म कणों से जुड़ी द्रव्य तरंगों की तरंगदैर्घ्य 10^-10 m के क्रम की है।

अवधारणा:

• लुई डी ब्रोगली के सिद्धांत में पदार्थ की तरंग प्रकृति की प्रस्तावना है:
  • सभी कणों को तरंग दैर्ध्य λ के साथ पदार्थ तरंगों के रूप में माना जा सकता है।
• और उनकी आवृत्ति निम्न समीकरण द्वारा दी गई है:

\(λ = \frac{h}{mv}\)
जहां λ लुई डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है, h प्लैंक नियतांक है, m द्रव्यमान है, v वेग है।
\(λ = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}\)

जहां λ डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है, h प्लैंक नियतांक है, m द्रव्यमान है, E_k गतिज उर्जा है।

• प्रोटॉन का द्रव्यमान = 1.673 × 10^-27 Kg; 
• न्यूट्रॉन का द्रव्यमान = 1.675 × 10-27 Kg;
• Α का द्रव्यमान = 4 × 1.673 × 10-27 Kg
• इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = 9.1 × 10-31 Kg

व्याख्या:

यह दिया गया है कि सभी कणों की गतिज ऊर्जा समान है। इसलिए

\(λ = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}} α \frac{1}{\sqrt m}\)

•  उपरोक्त समीकरण के अनुसार है कि द्रव्यमान जितना अधिक होता है तरंगदैर्ध्य उतनी ही कम होती है।
• Α कण का द्रव्यमान दिए गए विकल्प में सबसे बड़ा है, इसलिए इसमें कम से कम तरंग दैर्ध्य होगी।
• तो सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

​डी-ब्रोगली परिकल्पना के अनुसार, कण तरंगों के रूप में व्यवहार करते हैं और इन्हें पदार्थ तरंग कहा जाता है। कण की तरंग दैर्ध्य को डी-ब्रोगली तरंगदैर्ध्य कहा जाता है और इसे निम्न द्वारा दिया जाता है

\(⇒\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}\)

जहाँ m = आवेशित कण का द्रव्यमान और KE = गतिज ऊर्जा

अवधारणा:

• इलेक्ट्रॉनों की डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य: लुई डी ब्रोगली ने सिद्धांत दिया कि प्रकाश में तरंग और कण गुण दोनों के गुणधर्म होते हैं, बल्कि कणों का द्रव्यमान होता है- जैसे कि इलेक्ट्रॉन
  • भौतिक तरंगों की तरंग दैर्ध्य को डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य के रूप में भी जाना जाता है।
    • इलेक्ट्रॉनों की डी ब्रोग्ली तरंग दैर्ध्य (λ) की गणना प्लैंक स्थिरांक को कण के संवेग से विभाजित करके प्राप्त की जा सकती है।

λ = h/p

जहाँ h प्लैंक का स्थिरांक है, λ डी बरोगली तरंगदैर्घ्य है, और p संवेग है।

• ऊर्जा के संदर्भ में, इलेक्ट्रॉनों की डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य:

\(λ=\frac{h}{\sqrt{2mE}}\)

जहां λ डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य है, h प्लैंक का स्थिरांक है, m एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है, और E इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा है।

गणना:

दिया गया है:

नई गतिज ऊर्जा (E₂) = दी गई गतिज ऊर्जा का 16 गुणा = 16 E₁

\(λ_1=\frac{h}{\sqrt{2mE_1}}\)

\(λ_1=\frac{h}{\sqrt{2mE_2}}=\frac{h}{\sqrt{2m\;\times \;16E_1}} =\frac{1}{4}\lambda_1\)

सही उत्तर विकल्प है अर्थात λγ  > λα > λβ 

अवधारणा:

• वर्णक्रमीय रेखाएँ तब उत्पन्न होती हैं जब एक उत्तेजित परमाणु के इलेक्ट्रॉन कक्षीय ऊर्जा स्तरों के बीच चलते हैं और जमीनी अवस्था की ओर वापिस लौटते हैं।
  • परमाणु की प्रत्येक कक्षा को n = 1,2,3,4 ...द्वारा निरूपित किया जाता है। जहाँ n = 1 जमीनी अवस्था है और n> 1 उच्च ऊर्जा स्तरों की कक्षाओं का प्रतिनिधित्व करता है।
  • रीडबर्ग का सूत्र एक परमाणु के बोहर के मॉडल के विभिन्न स्तरों में ऊर्जा के स्तर और इलेक्ट्रॉनों के उत्तेजना के दौरान अवशोषित या उत्सर्जित फोटॉनों के तरंग दैर्ध्य के बीच एक संबंध प्रदान करता है।
• रीडबर्ग का सूत्र: \(\frac{1}{\lambda} = RZ^2 [{ \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}}]\)

जहां R रीडबर्ग नियतांक है, Z परमाणु संख्या है, n_i कम ऊर्जा स्तर है और nf उच्च ऊर्जा स्तर है ।

गणना:

दिया गया है:

तीन वर्णक्रमीय रेखाएँ  kα, kβ, और kγ निर्मित होती है।

संभावित इलेक्ट्रॉन गति इस प्रकार है:

रीडबर्ग का सूत्र: \(\frac{1}{\lambda} = RZ^2 [{ \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}}]\)

k_α के लिए : \(\frac{1}{\lambda_\alpha} = RZ^2 [{ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}}]\)\(= \)  0.75 RZ²      ----(1)

k_β के लिए: \(\frac{1}{\lambda_\beta} = RZ^2 [{ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}}]\)\(= \) 0.889 RZ²      ----(2)

k_γ के लिए : \(\frac{1}{\lambda_\gamma} = RZ^2 [{ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}}]\) \(=\)  0.138 RZ²      ----(3)

(1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होगा, \(\frac{1}{\lambda_\beta}>\frac{1}{\lambda_\alpha} >\frac{1}{\lambda_\gamma}\)

इसलिए, λγ  > λα > λβ 

Key Points

डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य: 

• लुई डी ब्रोगली ने सिद्धांत दिया कि केवल प्रकाश में न तरंग और कण दोनों गुण होते हैं, बल्कि द्रव्यमान वाले कण - जैसे इलेक्ट्रॉन - भी ऐसा करते हैं।
• भौतिक तरंगों की तरंग दैर्ध्य को डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य के रूप में भी जाना जाता है ।
• इलेक्ट्रॉनों की डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य की गणना कण के संवेग से विभाजित प्लैंक स्थिरांक h से की जा सकती है।

λ = h/p

जहां λ डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है, h प्लैंक का स्थिरांक है, और p संवेग है।

• यदि विभिन्न कणों का समान वेग होता है, तो तरंग दैर्ध्य उस कण के द्रव्यमान के विपरीत आनुपातिक होती है।

गणना:

दिए गए कण प्रोटॉन, इलेक्ट्रॉन, न्यूट्रॉन और अल्फा कण हैं।

अभी

प्रोटॉन का द्रव्यमान = 1.67 × 10-27 kg,

न्यूट्रॉन का द्रव्यमान = 1.67 × 10-27 kg,

इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = 9.11 × 10-31 kg,

अल्फा कण का द्रव्यमान = 6.65 × 10-27 kg;

इन चार कणों में सबसे हल्का कण एक इलेक्ट्रॉन है;

∴ एक इलेक्ट्रॉन में सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य होगी।

संकल्पना:

डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य: यह क्वांटम यांत्रिकी में सभी वस्तुओं में व्यक्त की गई एक तरंग दैर्ध्य है जो अभिविन्यास स्थान के दिए गए बिंदु पर वस्तु को खोजने की प्रायिकता घनत्व निर्धारित करता है।

• किसी कण की डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य उसके संवेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
• गतिज ऊर्जा 

K = ½ m v², जहाँ K = गतिज ऊर्जा, m = कण का द्रव्यमान, v = कणों का वेग है।

• कण का संवेग

P = m v, जहाँ p = कण का संवेग है,

• डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य इसके द्वारा दी जाती है

\({\rm{\lambda \;}} = \frac{{\rm{h}}}{{{\rm{m\;v}}}}\) जहाँ λ = डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य, h = प्लांक स्थिरांक

स्पष्टीकरण:

गतिज ऊर्जा इसके द्वारा दी जाती है:

K = ½ m v²,जहाँ K = गतिज ऊर्जा, m = कण का द्रव्यमान, v = कणों का वेग है।

\({\rm{v}} = \sqrt {{\rm{\;}}\frac{{2{\rm{\;K}}}}{{\rm{m}}}} \)

∴ \({\rm{p}} = {\rm{m\;v}} = {\rm{m}}\sqrt {{\rm{\;}}\frac{{2{\rm{\;K}}}}{{\rm{m}}}} \) And K = e V, जहाँ V = लागू वोल्टेज है

\({\rm{p}} = \sqrt {2{\rm{\;m\;e\;V}}} \), इसलिए कण का तरंगदैर्ध्य होगा

\({\rm{\lambda \;}} = \frac{{\rm{h}}}{{\sqrt {2{\rm{\;m\;e\;V}}} }}\), इसलिए तरंगदैर्ध्य वोल्टेज के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। अर्थात् -

\({\rm{\lambda }} \propto \frac{1}{{\sqrt {\rm{V}} }}\)

इसलिए विकल्प 1 सही है।