Group theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Group theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण​:

केली के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समूह एक क्रमचय समूह के लिए समरूपी है, अर्थात, एक सममित समूह का एक उपसमूह होता है।

इसलिए, प्रत्येक समूह क्रमचय के समूह के लिए समरूपी है।

अतः विकल्प (2) सत्य है

Correct Answer: Option 4) None of the above

Key Points

To be an Abelian group, a set with a binary operation must satisfy the following 5 properties:

1. Closure: The result of the operation on any two elements must be in the set.
2. Associativity: Operation must be associative: (a * b) * c = a * (b * c)
3. Identity element: There must be an identity element 'e' such that a * e = e * a = a
4. Inverse: Every element must have an inverse such that a * a⁻¹ = e
5. Commutativity: a * b = b * a for all a, b

Option 1: ℕ = {1, 2, 3,...} under addition

• Closure: ✅ Yes
• Associativity: ✅ Yes
• Identity: ❌ No (0 is the identity for addition, but 0 ∉ ℕ)
• Inverse: ❌ No inverse exists in ℕ (e.g., 2 + ? = 0 → not in ℕ)
• Commutative: ✅ Yes

Conclusion: ℕ is not a group, so it cannot be an Abelian group.

Option 2: ℚ under multiplication

• Closure: ✅ Yes
• Associativity: ✅ Yes
• Identity: ✅ Yes (1 is the multiplicative identity)
• Inverse: ❌ No, because 0 ∈ ℚ and has no inverse (1/0 is undefined)
• Commutative: ✅ Yes

Conclusion: ℚ under multiplication is not a group because 0 has no inverse.

Option 3: X = {a, b, c} with operation x * y = y

• Operation: Defined as x * y = y (i.e., result is always second element)
• Closure: ✅ Always one of {a, b, c}
• Associativity: ✅ Check: (x * y) * z = y * z = z and x * (y * z) = x * z = z ⇒ Both equal
• Identity: ❌ No element 'e' such that x * e = x and e * x = x
• Inverse: ❌ No identity ⇒ no inverse
• Commutative: ❌ x * y = y, y * x = x ⇒ Not equal unless x = y

Conclusion: Not a group due to lack of identity and inverse; hence, not Abelian.

Option 4: None of the above

Conclusion: ✅ Correct. None of the given structures form an Abelian group.

Therefore, the correct answer is: Option 4) None of the above

संकल्पना:

(G, ∘) को क्रमविनिमय कहा जाता है यदि a ∘ b = b ∘ a और साहचर्य कहा जाता है यदि a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c

स्पष्टीकरण:

विकल्प (1): (\(\mathbb Z\), *), a * b = a - b द्वारा परिभाषित साहचर्य नहीं है क्योंकि

1, 2, 3 ∈ \(\mathbb Z\)

1 - (2 - 3) = 1 + 1 = 2 और (1 - 2) - 3 = - 1 - 3 = -4

इसलिए, 1 * (2 * 3) ≠ (1 * 2) * 3

विकल्प (2): (ℝ, *), a * b = 2 (a + b) द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2(a + b) = 2(b + a) = b * a

a * b  ≠ b * a 

क्रमविनिमय गुणधर्म धारण करता है।

a * (b * c) = a * (2(b + c)) =  a * (2b + 2c) = 2(a + 2b + 2c)

और (a * b) * c = 2(a + b) * c) =  (2a+ 2b) * c = 2(2a + 2b + c)

a  * (b * c) ≠ (a * b) * c

साहचर्य गुणधर्म धारण करता है।

विकल्प (3): (ℝ, *), a * b = 2a + b द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2a + b 

 b * a = 2(b + a)

क्रमविनिमय गुण धारण करता है।

विकल्प (4) सत्य है।

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए Mn(\(\mathbb R\)) वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है और गुणन संक्रिया है।

तब (Mn(\(\mathbb R\)), ⋅) एक एबेलियन समूह नहीं है क्योंकि शून्य आव्यूह का व्युत्क्रम विद्यमान नहीं है।

विकल्प (3) गलत है।

मान लीजिए A, B, C ∈ Mn(\(\mathbb R\)) है, तब

A ⋅ B ∈ Mn(\(\mathbb R\)) और A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅ C रखता है।

इसलिए, यह संवर्त और साहचर्य गुणधर्मों को संतुष्ट करता है।

तत्समक अवयव In ∈ Mn(\(\mathbb R\)) भी विद्यमान है

अतः, विकल्प (1),(2) और (4) सत्य हैं।

अवधारणा:

समूह G में एक अवयव g की कोटि सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जबकि gn=e है जहाँ e समूह G का तत्समक अवयव है।

In Addition Modulo Group:  Order of an Element is the Addition of That Element to itself up to that time so, that when Divide by n Gives the remainder Zero 

स्पष्टीकरण:

G = {(0,1,2,3,4), +5}

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n ज्ञात करने के लिए, अर्थात 2ⁿ ≡ 1(mod5)

अब, 2¹≡ 2(mod5)

2²≡ 4(mod5)

2³≡1(mod5)

2⁴≡3(mod5)

2⁵≡0(mod5)

⇒ O(2)=5

प्रयुक्त संकल्पना:

समूह G में प्रत्येक अवयव a के लिए, (a-1)-1 = a

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी अवयव के व्युत्क्रम को उस अवयव के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो मूल अवयव से गुणा करने पर, समूह के तत्समक अवयव में परिणत होता है। अर्थात किसी भी समूह (G, *) के लिए, जहाँ e समूह का तत्समक अवयव है।

⇒ a ∈ G, a*a^-1 = a^-1*a = e

व्याख्या:

क्लेन चार-समूह कोटि चार का अद्वितीय गैर-चक्रीय समूह है।

अतः (1) सही है। 

अवधारणा:

समूह G में एक अवयव g की कोटि सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जबकि gn=e है जहाँ e समूह G का तत्समक अवयव है।

In Addition Modulo Group:  Order of an Element is the Addition of That Element to itself up to that time so, that when Divide by n Gives the remainder Zero 

स्पष्टीकरण:

G = {(0,1,2,3,4), +5}

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n ज्ञात करने के लिए, अर्थात 2ⁿ ≡ 1(mod5)

अब, 2¹≡ 2(mod5)

2²≡ 4(mod5)

2³≡1(mod5)

2⁴≡3(mod5)

2⁵≡0(mod5)

⇒ O(2)=5

प्रयुक्त संकल्पना:

समूह G में प्रत्येक अवयव a के लिए, (a-1)-1 = a

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी अवयव के व्युत्क्रम को उस अवयव के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो मूल अवयव से गुणा करने पर, समूह के तत्समक अवयव में परिणत होता है। अर्थात किसी भी समूह (G, *) के लिए, जहाँ e समूह का तत्समक अवयव है।

⇒ a ∈ G, a*a^-1 = a^-1*a = e

स्पष्टीकरण​:

केली के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समूह एक क्रमचय समूह के लिए समरूपी है, अर्थात, एक सममित समूह का एक उपसमूह होता है।

इसलिए, प्रत्येक समूह क्रमचय के समूह के लिए समरूपी है।

अतः विकल्प (2) सत्य है

संकल्पना:

(G, ∘) को एबेलियन समूह कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है

(i) संवर्त: अर्थात, a, b ∈ G के लिए a ∘ b ∈ G, 

(ii) साहचर्य: सभी a, b, c ∈ G के लिए a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c

(iii) तत्समक: एक अवयव e ∈ G इस प्रकार विद्यमान है कि सभी a ∈ G के लिए, a ∘ e = e ∘ a = a

(iv) व्युत्क्रम: प्रत्येक a ∈ G के लिए b ∈ G इस प्रकार विद्यमान है कि a ∘ b = b ∘ a = e

(v) एबेलियन : सभी a, b ∈ G के लिए a ∘ b = b ∘ a 

स्पष्टीकरण:

विकल्प (1): जोड़ के अंतर्गत ℕ = {1, 2, 3,...}।

संवर्त: किसी a, b ∈ ℕ, a + b ∈ ℕ के लिए

साहचर्य: किसी a, b, c ∈ ℕ के लिए, a + (b + c) = (a + b) + c 

तत्समक: 0 not belongs to  ℕ यहाँ तत्समक अवयव है क्योंकि सभी a ∈ ℕ के लिए a + 0 = 0 + a = a

व्युत्क्रम: -a, a not belong to ℕ का व्युत्क्रम अवयव है

क्रमविनिमय: a, b ∈ ℕ के लिए, a + b = b + a 

अत: ℕ = {1, 2, 3,...} जोड़ के अंतर्गत एबेलियन समूह नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है

विकल्प (2): ℚ गुणन के अंतर्गत एक समूह नहीं है, क्योंकि यह व्युत्क्रम गुण को संतुष्ट नहीं करता है अर्थात 0 का व्युत्क्रम विद्यमान नहीं है।

विकल्प (2) गलत है

विकल्प (3):X = {a, b, c} x * y = y के साथ एबेलियन नहीं है

a * b = b और b * a = a

इसलिए, a * b ≠ b * a

विकल्प (3) गलत है

अवधारणा -

यदि कोई समूह G उसके उपसमूह A, B, C, ..., Z का आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफल है, तो G, समूह A, B, C, ..., Z के बाह्य प्रत्यक्ष गुणनफल के तुल्याकारी है।

स्पष्टीकरण -

यदि कोई समूह G उसके उपसमूह A, B, C, ..., Z का आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफल है, तो G, समूह A, B, C, ..., Z के बाह्य प्रत्यक्ष गुणनफल के तुल्याकारी है।

औपचारिक रूप से, यदि G के उपसमूह A, B, C, ..., Z के लिए G = A 'x B x C x ... x Z है, तो G समूह A * B * C * ... * Z के लिए तुल्याकारी है। जहाँ, * प्रत्यक्ष गुणनफल संक्रिया है।

अधिक सटीक शब्दों में, परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों की मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह G अभाज्य घात कोटि के चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष गुणनफल के लिए तुल्याकारी है।

अतः विकल्प (ii) सही है।

स्पष्टीकरण -

एबेलियन समूह (जिसे क्रमविनिमेय समूह के रूप में भी जाना जाता है) में, समूह की संक्रिया क्रमविनिमेयित है। इसका मतलब यह है कि समूह में किन्हीं दो अवयवों a और b के लिए, समीकरण ab = ba सत्य है। क्रमविनिमेय गुण के कारण, एबेलियन समूह के किसी भी अवयव के अनुरूप आंतरिक तुल्याकारी ततसमक फलन है।

मान लीजिए (G, *) एक एबेलियन समूह है, और आइए इसे किसी अवयव a द्वारा परिभाषित G के आंतरिक तुल्याकारी द्वारा निरूपित करें, जहां 'x' G का एक अवयव है Then\(ϕ_a(x) = a x a⁻¹\)

हालाँकि, चूंकि समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है, इसलिए हम निम्नलिखित प्राप्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: \(ϕ_a(x) = a a⁻¹ x = e x = x\) जहाँ 'e' समूह का ततसमक अवयव है।

चूँकि समूह में किसी भी अवयव x के लिए, एबेलियन समूह के किसी अवयव की आंतरिक तुल्याकारी एबेलियन समूह G में किसी भी अवयव a के लिए ततसमक प्रतिचित्रण है।

अतः विकल्प (i) सत्य है।

अवधारणा -

एक एबेलियन समूह, एक संकारक के साथ (प्रायः '+' के रूप में चिह्नित), एक समुच्चय G होता है, जो इन गुणधर्मों को संतुष्ट करता है:

संवरक: यदि a और b, G में हैं, तो a+b, G में है।
साहचर्यता: G में सभी a, b, c के लिए, (a+b)+c, a+(b+c) के बराबर है।
तत्समक: G में एक अवयव '0' इस प्रकार है कि G में सभी a के लिए, 0+a और a+0, a के बराबर है।
प्रतिलोम: G में प्रत्येक a के लिए, G में एक '-a' इस प्रकार मौजूद है, कि a + (-a) और (-a) + a, 0 के बराबर है।
क्रमविनिमेयता: G में सभी a, b के लिए, a+b, b+a के बराबर है।

व्याख्या-

एक समूह संवरक, साहचर्यता, तत्समक और प्रतिलोम जैसे सभी चार गुणधर्मों को संतुष्ट करता है। प्रश्न में हमारे पास एक समूह है इसलिए यदि हम क्रमविनिमेय गुण जोड़ते हैं तो यह एबेलियन समूह होगा।

अतः विकल्प (iv) सही है।

संकल्पना:

(G, ∘) को क्रमविनिमय कहा जाता है यदि a ∘ b = b ∘ a और साहचर्य कहा जाता है यदि a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c

स्पष्टीकरण:

विकल्प (1): (\(\mathbb Z\), *), a * b = a - b द्वारा परिभाषित साहचर्य नहीं है क्योंकि

1, 2, 3 ∈ \(\mathbb Z\)

1 - (2 - 3) = 1 + 1 = 2 और (1 - 2) - 3 = - 1 - 3 = -4

इसलिए, 1 * (2 * 3) ≠ (1 * 2) * 3

विकल्प (2): (ℝ, *), a * b = 2 (a + b) द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2(a + b) = 2(b + a) = b * a

a * b  ≠ b * a 

क्रमविनिमय गुणधर्म धारण करता है।

a * (b * c) = a * (2(b + c)) =  a * (2b + 2c) = 2(a + 2b + 2c)

और (a * b) * c = 2(a + b) * c) =  (2a+ 2b) * c = 2(2a + 2b + c)

a  * (b * c) ≠ (a * b) * c

साहचर्य गुणधर्म धारण करता है।

विकल्प (3): (ℝ, *), a * b = 2a + b द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2a + b 

 b * a = 2(b + a)

क्रमविनिमय गुण धारण करता है।

विकल्प (4) सत्य है।