Group theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Group theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण​:

केली के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समूह एक क्रमचय समूह के लिए समरूपी है, अर्थात, एक सममित समूह का एक उपसमूह होता है।

इसलिए, प्रत्येक समूह क्रमचय के समूह के लिए समरूपी है।

अतः विकल्प (2) सत्य है

सही उत्तर: विकल्प 4) इनमें से कोई नहीं है।

Key Points 

एबेलियन समूह होने के लिए, बाइनरी ऑपरेशन वाले सेट को निम्नलिखित 5 गुणों को पूरा करना होगा:

1. समापन: किसी भी दो तत्वों पर ऑपरेशन का परिणाम सेट में होना चाहिए।
2. साहचर्यता: ऑपरेशन साहचर्य होना चाहिए: (a * b) * c = a * (b * c)
3. पहचान तत्व: एक पहचान तत्व 'e' होना चाहिए जैसे कि a * e = e * a = a
4. व्युत्क्रम: प्रत्येक तत्व का एक व्युत्क्रम होना चाहिए जैसे कि a * a⁻¹ = e
5. विनिमेयता: a * b = b * a सभी a, b के लिए

विकल्प 1: ℕ = {1, 2, 3,...} योग के अंतर्गत

• बंद: ✅ हाँ
• साहचर्यता: ✅ हाँ
• पहचान: ❌ नहीं (0 योग के लिए पहचान है, लेकिन 0 ∉ ℕ)
• व्युत्क्रम: ❌ ℕ में कोई व्युत्क्रम मौजूद नहीं है (जैसे, 2 + ? = 0 → ℕ में नहीं)
• विनिमेय: ✅ हाँ

निष्कर्ष: ℕ एक समूह नहीं है, इसलिए यह एबेलियन समूह नहीं हो सकता।

विकल्प 2: गुणन के अंतर्गत ℚ

• बंद: ✅ हाँ
• साहचर्यता: ✅ हाँ
• पहचान: ✅ हाँ (1 गुणनात्मक पहचान है)
• व्युत्क्रम: ❌ नहीं, क्योंकि 0 ∈ ℚ और इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है (1/0 अपरिभाषित है)
• विनिमेय: ✅ हाँ

निष्कर्ष: गुणन के अंतर्गत ℚ एक समूह नहीं है क्योंकि 0 का कोई व्युत्क्रम नहीं है।

विकल्प 3: X = {a, b, c} ऑपरेशन x * y = y के साथ

• ऑपरेशन: x * y = y के रूप में परिभाषित (अर्थात, परिणाम हमेशा दूसरा तत्व होता है)
• समापन: ✅ हमेशा {a, b, c} में से एक
• साहचर्यता: ✅ जाँच करें: (x * y) * z = y * z = z और x * (y * z) = x * z = z ⇒ दोनों बराबर
• पहचान: ❌ ऐसा कोई तत्व 'e' नहीं है कि x * e = x और e * x = x
• व्युत्क्रम: ❌ कोई पहचान नहीं ⇒ कोई व्युत्क्रम नहीं
• विनिमेय: ❌ x * y = y, y * x = x ⇒ जब तक x = y न हो, बराबर नहीं

निष्कर्ष: पहचान की कमी और व्युत्क्रम के कारण यह समूह नहीं है; इसलिए, यह एबेलीय नहीं है।

विकल्प 4: उपरोक्त में से कोई नहीं

निष्कर्ष: ✅ सही। दी गई संरचनाओं में से कोई भी एबेलियन समूह नहीं बनाती है।

इसलिए, सही उत्तर है: विकल्प 4) उपरोक्त में से कोई नहीं है।

संकल्पना:

(G, ∘) को क्रमविनिमय कहा जाता है यदि a ∘ b = b ∘ a और साहचर्य कहा जाता है यदि a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c

स्पष्टीकरण:

विकल्प (1): (\(\mathbb Z\), *), a * b = a - b द्वारा परिभाषित साहचर्य नहीं है क्योंकि

1, 2, 3 ∈ \(\mathbb Z\)

1 - (2 - 3) = 1 + 1 = 2 और (1 - 2) - 3 = - 1 - 3 = -4

इसलिए, 1 * (2 * 3) ≠ (1 * 2) * 3

विकल्प (2): (ℝ, *), a * b = 2 (a + b) द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2(a + b) = 2(b + a) = b * a

a * b  ≠ b * a 

क्रमविनिमय गुणधर्म धारण करता है।

a * (b * c) = a * (2(b + c)) =  a * (2b + 2c) = 2(a + 2b + 2c)

और (a * b) * c = 2(a + b) * c) =  (2a+ 2b) * c = 2(2a + 2b + c)

a  * (b * c) ≠ (a * b) * c

साहचर्य गुणधर्म धारण करता है।

विकल्प (3): (ℝ, *), a * b = 2a + b द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2a + b 

 b * a = 2(b + a)

क्रमविनिमय गुण धारण करता है।

विकल्प (4) सत्य है।

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए Mn(\(\mathbb R\)) वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है और गुणन संक्रिया है।

तब (Mn(\(\mathbb R\)), ⋅) एक एबेलियन समूह नहीं है क्योंकि शून्य आव्यूह का व्युत्क्रम विद्यमान नहीं है।

विकल्प (3) गलत है।

मान लीजिए A, B, C ∈ Mn(\(\mathbb R\)) है, तब

A ⋅ B ∈ Mn(\(\mathbb R\)) और A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅ C रखता है।

इसलिए, यह संवर्त और साहचर्य गुणधर्मों को संतुष्ट करता है।

तत्समक अवयव In ∈ Mn(\(\mathbb R\)) भी विद्यमान है

अतः, विकल्प (1),(2) और (4) सत्य हैं।

अवधारणा:

समूह G में एक अवयव g की कोटि सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जबकि gn=e है जहाँ e समूह G का तत्समक अवयव है।

In Addition Modulo Group:  Order of an Element is the Addition of That Element to itself up to that time so, that when Divide by n Gives the remainder Zero 

स्पष्टीकरण:

G = {(0,1,2,3,4), +5}

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n ज्ञात करने के लिए, अर्थात 2ⁿ ≡ 1(mod5)

अब, 2¹≡ 2(mod5)

2²≡ 4(mod5)

2³≡1(mod5)

2⁴≡3(mod5)

2⁵≡0(mod5)

⇒ O(2)=5

प्रयुक्त संकल्पना:

समूह G में प्रत्येक अवयव a के लिए, (a-1)-1 = a

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी अवयव के व्युत्क्रम को उस अवयव के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो मूल अवयव से गुणा करने पर, समूह के तत्समक अवयव में परिणत होता है। अर्थात किसी भी समूह (G, *) के लिए, जहाँ e समूह का तत्समक अवयव है।

⇒ a ∈ G, a*a^-1 = a^-1*a = e

व्याख्या:

क्लेन चार-समूह कोटि चार का अद्वितीय गैर-चक्रीय समूह है।

अतः (1) सही है। 

अवधारणा:

समूह G में एक अवयव g की कोटि सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जबकि gn=e है जहाँ e समूह G का तत्समक अवयव है।

In Addition Modulo Group:  Order of an Element is the Addition of That Element to itself up to that time so, that when Divide by n Gives the remainder Zero 

स्पष्टीकरण:

G = {(0,1,2,3,4), +5}

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n ज्ञात करने के लिए, अर्थात 2ⁿ ≡ 1(mod5)

अब, 2¹≡ 2(mod5)

2²≡ 4(mod5)

2³≡1(mod5)

2⁴≡3(mod5)

2⁵≡0(mod5)

⇒ O(2)=5

प्रयुक्त संकल्पना:

समूह G में प्रत्येक अवयव a के लिए, (a-1)-1 = a

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी अवयव के व्युत्क्रम को उस अवयव के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो मूल अवयव से गुणा करने पर, समूह के तत्समक अवयव में परिणत होता है। अर्थात किसी भी समूह (G, *) के लिए, जहाँ e समूह का तत्समक अवयव है।

⇒ a ∈ G, a*a^-1 = a^-1*a = e

स्पष्टीकरण​:

केली के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक समूह एक क्रमचय समूह के लिए समरूपी है, अर्थात, एक सममित समूह का एक उपसमूह होता है।

इसलिए, प्रत्येक समूह क्रमचय के समूह के लिए समरूपी है।

अतः विकल्प (2) सत्य है

संकल्पना:

(G, ∘) को एबेलियन समूह कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है

(i) संवर्त: अर्थात, a, b ∈ G के लिए a ∘ b ∈ G, 

(ii) साहचर्य: सभी a, b, c ∈ G के लिए a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c

(iii) तत्समक: एक अवयव e ∈ G इस प्रकार विद्यमान है कि सभी a ∈ G के लिए, a ∘ e = e ∘ a = a

(iv) व्युत्क्रम: प्रत्येक a ∈ G के लिए b ∈ G इस प्रकार विद्यमान है कि a ∘ b = b ∘ a = e

(v) एबेलियन : सभी a, b ∈ G के लिए a ∘ b = b ∘ a 

स्पष्टीकरण:

विकल्प (1): जोड़ के अंतर्गत ℕ = {1, 2, 3,...}।

संवर्त: किसी a, b ∈ ℕ, a + b ∈ ℕ के लिए

साहचर्य: किसी a, b, c ∈ ℕ के लिए, a + (b + c) = (a + b) + c 

तत्समक: 0 not belongs to  ℕ यहाँ तत्समक अवयव है क्योंकि सभी a ∈ ℕ के लिए a + 0 = 0 + a = a

व्युत्क्रम: -a, a not belong to ℕ का व्युत्क्रम अवयव है

क्रमविनिमय: a, b ∈ ℕ के लिए, a + b = b + a 

अत: ℕ = {1, 2, 3,...} जोड़ के अंतर्गत एबेलियन समूह नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है

विकल्प (2): ℚ गुणन के अंतर्गत एक समूह नहीं है, क्योंकि यह व्युत्क्रम गुण को संतुष्ट नहीं करता है अर्थात 0 का व्युत्क्रम विद्यमान नहीं है।

विकल्प (2) गलत है

विकल्प (3):X = {a, b, c} x * y = y के साथ एबेलियन नहीं है

a * b = b और b * a = a

इसलिए, a * b ≠ b * a

विकल्प (3) गलत है

अवधारणा -

यदि कोई समूह G उसके उपसमूह A, B, C, ..., Z का आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफल है, तो G, समूह A, B, C, ..., Z के बाह्य प्रत्यक्ष गुणनफल के तुल्याकारी है।

स्पष्टीकरण -

यदि कोई समूह G उसके उपसमूह A, B, C, ..., Z का आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफल है, तो G, समूह A, B, C, ..., Z के बाह्य प्रत्यक्ष गुणनफल के तुल्याकारी है।

औपचारिक रूप से, यदि G के उपसमूह A, B, C, ..., Z के लिए G = A 'x B x C x ... x Z है, तो G समूह A * B * C * ... * Z के लिए तुल्याकारी है। जहाँ, * प्रत्यक्ष गुणनफल संक्रिया है।

अधिक सटीक शब्दों में, परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों की मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह G अभाज्य घात कोटि के चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष गुणनफल के लिए तुल्याकारी है।

अतः विकल्प (ii) सही है।

स्पष्टीकरण -

एबेलियन समूह (जिसे क्रमविनिमेय समूह के रूप में भी जाना जाता है) में, समूह की संक्रिया क्रमविनिमेयित है। इसका मतलब यह है कि समूह में किन्हीं दो अवयवों a और b के लिए, समीकरण ab = ba सत्य है। क्रमविनिमेय गुण के कारण, एबेलियन समूह के किसी भी अवयव के अनुरूप आंतरिक तुल्याकारी ततसमक फलन है।

मान लीजिए (G, *) एक एबेलियन समूह है, और आइए इसे किसी अवयव a द्वारा परिभाषित G के आंतरिक तुल्याकारी द्वारा निरूपित करें, जहां 'x' G का एक अवयव है Then\(ϕ_a(x) = a x a⁻¹\)

हालाँकि, चूंकि समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है, इसलिए हम निम्नलिखित प्राप्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: \(ϕ_a(x) = a a⁻¹ x = e x = x\) जहाँ 'e' समूह का ततसमक अवयव है।

चूँकि समूह में किसी भी अवयव x के लिए, एबेलियन समूह के किसी अवयव की आंतरिक तुल्याकारी एबेलियन समूह G में किसी भी अवयव a के लिए ततसमक प्रतिचित्रण है।

अतः विकल्प (i) सत्य है।

अवधारणा -

एक एबेलियन समूह, एक संकारक के साथ (प्रायः '+' के रूप में चिह्नित), एक समुच्चय G होता है, जो इन गुणधर्मों को संतुष्ट करता है:

संवरक: यदि a और b, G में हैं, तो a+b, G में है।
साहचर्यता: G में सभी a, b, c के लिए, (a+b)+c, a+(b+c) के बराबर है।
तत्समक: G में एक अवयव '0' इस प्रकार है कि G में सभी a के लिए, 0+a और a+0, a के बराबर है।
प्रतिलोम: G में प्रत्येक a के लिए, G में एक '-a' इस प्रकार मौजूद है, कि a + (-a) और (-a) + a, 0 के बराबर है।
क्रमविनिमेयता: G में सभी a, b के लिए, a+b, b+a के बराबर है।

व्याख्या-

एक समूह संवरक, साहचर्यता, तत्समक और प्रतिलोम जैसे सभी चार गुणधर्मों को संतुष्ट करता है। प्रश्न में हमारे पास एक समूह है इसलिए यदि हम क्रमविनिमेय गुण जोड़ते हैं तो यह एबेलियन समूह होगा।

अतः विकल्प (iv) सही है।

संकल्पना:

(G, ∘) को क्रमविनिमय कहा जाता है यदि a ∘ b = b ∘ a और साहचर्य कहा जाता है यदि a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c

स्पष्टीकरण:

विकल्प (1): (\(\mathbb Z\), *), a * b = a - b द्वारा परिभाषित साहचर्य नहीं है क्योंकि

1, 2, 3 ∈ \(\mathbb Z\)

1 - (2 - 3) = 1 + 1 = 2 और (1 - 2) - 3 = - 1 - 3 = -4

इसलिए, 1 * (2 * 3) ≠ (1 * 2) * 3

विकल्प (2): (ℝ, *), a * b = 2 (a + b) द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2(a + b) = 2(b + a) = b * a

a * b  ≠ b * a 

क्रमविनिमय गुणधर्म धारण करता है।

a * (b * c) = a * (2(b + c)) =  a * (2b + 2c) = 2(a + 2b + 2c)

और (a * b) * c = 2(a + b) * c) =  (2a+ 2b) * c = 2(2a + 2b + c)

a  * (b * c) ≠ (a * b) * c

साहचर्य गुणधर्म धारण करता है।

विकल्प (3): (ℝ, *), a * b = 2a + b द्वारा परिभाषित है

मान लीजिए a, b, c ∈ ℝ

a * b = 2a + b 

 b * a = 2(b + a)

क्रमविनिमय गुण धारण करता है।

विकल्प (4) सत्य है।