Normal Subgroup and Quotient Groups MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Normal Subgroup and Quotient Groups - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 19, 2025
Latest Normal Subgroup and Quotient Groups MCQ Objective Questions
Normal Subgroup and Quotient Groups Question 1:
यदि F, समूह G से दूसरे समूह G' में समाकारिता है, जिसकी अष्टि k है, तब निम्न में से कौनसा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Normal Subgroup and Quotient Groups Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
यदि F समूह G से दूसरे समूह G' में एक समाकारिता है जिसका कर्नेल k है।
चूँकि e ∈ k इसलिए k ≠ ϕ
माना कि a, b ∈ k
f(ab-1) = f(a)f(b-1)
= f(a)f(b)-1
= e1e1-1 = e1
इसलिए, ab-1 ∈ k
अतः k, G का एक उपसमूह है।
माना कि a ∈ G और h ∈ K
तब
f(aha-1) = f(a)f(h)f(a-1)
= f(a)f(h)f(a)-1
= f(a)e1f(a)-1 = e1
इसलिए, aha-1 ∈ k
इसलिए k, G का एक प्रसामान्य उपसमूह है।
विकल्प (1) सही है।
Top Normal Subgroup and Quotient Groups MCQ Objective Questions
Normal Subgroup and Quotient Groups Question 2:
यदि F, समूह G से दूसरे समूह G' में समाकारिता है, जिसकी अष्टि k है, तब निम्न में से कौनसा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Normal Subgroup and Quotient Groups Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
यदि F समूह G से दूसरे समूह G' में एक समाकारिता है जिसका कर्नेल k है।
चूँकि e ∈ k इसलिए k ≠ ϕ
माना कि a, b ∈ k
f(ab-1) = f(a)f(b-1)
= f(a)f(b)-1
= e1e1-1 = e1
इसलिए, ab-1 ∈ k
अतः k, G का एक उपसमूह है।
माना कि a ∈ G और h ∈ K
तब
f(aha-1) = f(a)f(h)f(a-1)
= f(a)f(h)f(a)-1
= f(a)e1f(a)-1 = e1
इसलिए, aha-1 ∈ k
इसलिए k, G का एक प्रसामान्य उपसमूह है।
विकल्प (1) सही है।