Rings & Ideals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rings & Ideals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

वलय में गुणजावली:

• वलय की एक गुणजावली एक विशेष उपसमुच्चय है जो वलय के अवयवों द्वारा गुणन को अवशोषित करता है और योग के अंतर्गत संवृत होता है।
• परिभाषा: वलय R का एक अरिक्त उपसमुच्चय I को गुणजावली कहा जाता है यदि:
  • सभी a, b ∈ I के लिए, (a + b) ∈ I (योग के अंतर्गत संवृत)।
  • सभी r ∈ R और a ∈ I के लिए, (ra ∈ I और ar ∈ I) (गुणन को अवशोषित करता है)।
• संकेतन: ℤ योग और गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों के वलय को दर्शाता है।
• प्रमुख आदर्श: समुच्चय nℤ = {nk | k ∈ ℤ} , ℤ की एक गुणजावली है।
• गुणजावलियों का प्रतिच्छेदन: किन्हीं दो गुणजावलियों का सर्वनिष्ठ भी एक गुणजावली होती है।
• गुणजावलियों का सम्मिलन : दो आदर्शों का सम्मिलन आवश्यक रूप से गुणजावली नहीं होता है।
• ℤ_n (mod n निकाय): वलय ℤ_n = {0, 1, ..., n−1} योग और गुणन मॉड्यूलो n के साथ।
• अभाज्य n के लिए: ℤ_n एक क्षेत्र है ⇒ किसी उचित अतुच्छ गुणजावली का अस्तित्व नहीं है।

गणना:

दिया गया है, हमें गलत कथन की पहचान करनी है।

1) समुच्चय (−2ℤ) = {−2k | k ∈ ℤ} = 2ℤ, जो ℤ की एक प्रमुख गुणजावली है

$$-2Z=-2,0,2,-4,4,-6,6,...=2Z$$

निष्कर्ष:

• चूँकि 2ℤ ℤ में एक प्रमुख गुणजावली (2 द्वारा उत्पन्न) है,

• और −2ℤ = 2ℤ, यह भी ℤ का एक गुणजावली है।

⇒ यह (ℤ, +, ·) की एक मान्य गुणजावली है। 

2) 2ℤ और 3ℤ, ℤ के आदर्श हैं (सत्य),

⇒ 2ℤ ∪ 3ℤ योग के अंतर्गत संवृत नहीं है, इसलिए गुणजावली नहीं है। 

• मान लीजिए a = 2 ∈ 2ℤ

• मान लीजिए b = 3 ∈ 3ℤ

जाँच: a + b = 2 + 3 = 5

अब, क्या 5 सम्मिलन 2ℤ ∪ 3ℤ में है?

• 5 2 से विभाज्य नहीं है ⇒ 2ℤ में नहीं है

• 5 3 से विभाज्य नहीं है ⇒ 3ℤ में नहीं है
  इसलिए, 5 ∉ 2ℤ ∪ 3ℤ है। 

इस प्रकार, 2ℤ ∪ 3ℤ योग के अंतर्गत संवृत नहीं है, जो कि गुणजावली होने के लिए एक आवश्यक गुण है।

⇒ कथन सही है। 

3) ℤ₅ एक क्षेत्र है (5 अभाज्य है)

⇒ क्षेत्रों में कोई उचित अतुच्छ गुणजावली नहीं होती हैं। 

⇒ कथन सही है। 

4) 4ℤ और 5ℤ, ℤ के आदर्श हैं (सत्य)

⇒ 4ℤ ∩ 5ℤ = 20ℤ (ℤ का एक आदर्श भी है)

⇒ कथन कहता है कि यह आदर्श नहीं है ⇒ गलत

∴ गलत कथन: विकल्प 4 है। 

अन्य विकल्प सही क्यों हैं:

• विकल्प 1: (−2ℤ) = 2ℤ, ℤ की एक मान्य गुणजावली है।
• विकल्प 2: 2ℤ और 3ℤ व्यक्तिगत रूप से गुणजावली हैं, लेकिन उनका सम्मिलन योग के अंतर्गत संवृत नहीं है। 
• विकल्प 3: ℤ₅ एक क्षेत्र है, इसलिए इसकी कोई उचित गुणजावली नहीं हैं। 

व्याख्या:

(2): यदि सभी a ∈ R के लिए a² = a हो, तो एक वलय बूलीय वलय होता है।

इसलिए, [{0, 1}, +2, ×2] एक बूलीय वलय है।

विकल्प (2) सही कथन है।

(Z3, +3, ×3) एक क्षेत्र है, इसलिए विकल्प (3) सही कथन है।

प्रमेय द्वारा, प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रांत एक क्षेत्र होता है।

विकल्प (4) सही कथन है।

इसलिए, विकल्प (1) गलत कथन है।

संप्रत्यय:

एक क्रमविनिमेय वलय R में, एक अवयव r एक शून्य-भाजक होता है यदि कोई शून्येतर s ∈ R इस प्रकार है कि rs = 0 है। 

व्याख्या:

R = ({0, 1, 2, 3, 4, 5}, ÷ 6, × 6)}

इसलिए, R = (ℤ₆, ÷, ×)

हम जानते हैं कि

ℤ6 एक क्रमविनिमेय वलय है।

ℤ6 में शून्य-भाजक 0, 2, 3 और 4 हैं क्योंकि 0 · 2 = 2 · 3 = 3 · 4 = 0

इसलिए, R शून्य-भाजकों वाला एक वलय है। 

अतः विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

(A) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय

सम पूर्णांकों का समुच्चय \(2\mathbb{Z} \) मानक योग और गुणन के अंतर्गत एक क्रमविनिमेय वलय बनाता है

हालाँकि, यह एक क्षेत्र नहीं है क्योंकि प्रत्येक शून्येतर अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता है। 

इसलिए, यह (IV) क्रमविनिमेय वलय से मेल खाता है।

(B) समुच्चय \(\{a + ib : a, b \in \mathbb{Z} \} \)

यह गाउसी पूर्णांकों के समुच्चय \(\mathbb{Z}[i] \) को निरूपित करता है

गाउसी पूर्णांक एक पूर्णांकीय प्रांत (शून्य भाजक के बिना एक क्रमविनिमेय वलय) बनाते हैं

इसलिए, यह (II) पूर्णांकीय प्रांत से सुमेलित है।

(C) परिमेय संख्याओं का समुच्चय \(\mathbb{Q} \)

परिमेय संख्याएँ \(\mathbb{Q} \) एक क्षेत्र बनाती हैं क्योंकि प्रत्येक शून्येतर परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम होता है

इसलिए, यह (I) क्षेत्र से सुमेलित है। 

(D) समुच्चय \(S = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & x \\ 0 & y \end{bmatrix} : x, y \in \mathbb{Q} \right\} \)

इस समुच्चय में परिमेय प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह होते हैं

इस समुच्चय में आव्यूह गुणन आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है। 

इसलिए, यह (III) अक्रमविनिमेय वलय से सुमेलित है। 

सही मिलान है:

(A - IV), (B - II), (C - I), (D - III)

⇒ विकल्प(4) सही उत्तर है।

व्याख्या:

A). यदि किसी बहुपद का अग्रगामी गुणांक 1 है, तो वह बहुपद एकगुणांकी होता है।

यह कथन सही है। परिभाषा के अनुसार, एक एकगुणांकी बहुपद वह बहुपद होता है जिसका अग्रग गुणांक 1 होता है।

B). प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलाक्षणिक बहुपद का शून्य होता है।

यह कथन गलत है। इसे केली-हैमिल्टन प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

यह बताता है कि प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलाक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है,

लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि यह अभिलाक्षणिक बहुपद का शून्य हो।

C). किसी आव्यूह A के अभिलाक्षणिक और अल्पिष्ठ बहुपद में समान अखंडनीय गुणनखंड नहीं होते हैं।

यह कथन गलत है। आव्यूह A का न्यूनतम बहुपद, A के अभिलाक्षणिक बहुपद को विभाजित करता है, और उनमें समान अखंडनीय गुणनखंड होते हैं।

D). समरूप आव्यूहों का अभिलाक्षणिक बहुपद समान होता है।

यह कथन सही है। समरूप आव्यूहों के आइगेन मान समान होते हैं, और अभिलाक्षणिक बहुपद आव्यूह के आइगेन मानों द्वारा परिभाषित होता है।

इसलिए, केवल (A) और (D) सही हैं।

अतः विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

यदि xⁿ = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है। 

स्पष्टीकरण:

ℤ/105ℤ ≅ ℤ₁₀₅

105 = 3 × 5 × 7

So \(U_{ℤ_{105}}\) ≅ U(3) × U(5) × U(7) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆

दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2 

क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है। 

अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8

विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना​:

यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है तो,

ab = ba ∀ a,b ∈ R. 

M, जो R की एक गुणजावली है, R की अधिकतम गुणजावली कहलाएगी,

1) यदि M ⊂ R, M ≠ R (R में कम से कम एक ऐसा तत्व है जो M से संबंधित नहीं है)

2) कोई गुणजावली 'N' नहीं होनी चाहिए, जैसे M ⊂ N ⊂ R. (M और R के बीच कोई गुणजावली नहीं है) 

विश्लेषण​:

R/M एक क्षेत्र है [∵ प्रत्येक परिमित अभिन्न डोमेन एक क्षेत्र है]

∴ R/M एकल के साथ एक वलय है

∴ 1 + M ≠ M

अर्थात, 1 ∉ M

अब, एक R से संबंधित है, लेकिन यह R से संबंधित नहीं है।

∴ M ≠ R.

मान लीजिए I, R की एक गुणजावली है​

ऐसा है कि M ⊆  I ⊆  R

माना, M ≠ I

∃ a ∈ I, ऐसा है कि a ∉ M

∴ a + M ∉ M

अब, R/M एक क्षेत्र है।

∴ प्रत्येक, गैर-शून्य R/M प्रतिवर्ती है

∴ a + M व्युत्क्रमणीय है

∴ ∃ b + M ∈ R/M दिया गया है कि

(a + M) (b + M) = 1 + M

ab + M = 1 + M

ab – 1 ∈ M ⊆  I      ---(1)

a ∈ I, b ∈ R

∴ ab ∈ I          ---(2)  (∵ I एक गुणजावली है​)

(1) और (2) से हम लिख सकते हैं

ab – (ab – 1) ∈ I

∴ 1 ∈ I

अब, जैसे एकता गुणजावली से संबंधित है, इसलिए गुणजावली वलय बन जाता है

∴ I = R

∴ M, R का अधिकतम गुणजावली है

यदि R एकल के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है तो प्रत्येक अधिकतम गुणजावली एक अभाज्य गुणजावली है।

हल -

एक वलय  �  का तत्वUnknown node typ <merror><mtext>Unknown node type: span</mtext></merror> �  शून्यक्षम ​कहलाता है, यदि कोई धनात्मक पूर्णांक  मौजूद होता है, जिसे सूचकांक (या कभी-कभी कोटि) कहा जाता है, जैसे कि 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

हल- वलय Z[x,y] x और y का उत्पादक है। 

समरूपता के अंतर्गत x,y की प्रतिकृति

f: Z[x,y] → \( F_2{[x]}/({x^3+x^2+x+1})\) 

उपप्रांत का स्वेच्छ तत्व हो सकता है और विशिष्ट रूप से निर्धारित f हो सकता है। 

चूँकि वलय \(F_2{[x]}/({x^3+x^2+x+1})\) में 8 तत्व हैं तो वलय समरूपता की कुल संख्या है: 8 × 8 = 64 

अतः सही विकल्प विकल्प 1) है।​

संकल्पना:

यदि xⁿ = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है। 

स्पष्टीकरण:

ℤ/105ℤ ≅ ℤ₁₀₅

105 = 3 × 5 × 7

So \(U_{ℤ_{105}}\) ≅ U(3) × U(5) × U(7) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆

दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2 

क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है। 

अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8

विकल्प (4) सही है। 

इसका उत्तर हम प्रति-उदाहरणों के माध्यम से दे सकते हैं।

• विकल्प 1 और विकल्प 3 को हटाने के लिए हम R = (Z, +, .) लेते हैं जहाँ pZ किसी भी अभाज्य p के लिए अधिकतम है।
• विकल्प 4 को हटाने के लिए हम R = (F,+, .) लेते हैं, जहाँ F एक क्षेत्र है। और, एक क्षेत्र यूनिटी के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है जहां {0} एकमात्र प्रमुख गुणजावली है।
• इसलिए, विकल्प 2 ही एकमात्र सही विकल्प है। वास्तव में, R =   के सटीक दो उच्चिष्ठ गुणजावलियां हैं,  M = {0,2,4} और N = {0,3}

स्पष्टीकरण:

(1): 105 में दो भिन्न-भिन्न अभाज्य भाजक 2 और 5 हैं इसलिए \(\mathbb Z_{10^5}\) में अभाज्य गुणजावली की संख्या 2 है

(1) सही है

(2): वलय \(\mathbb Z_2\times \mathbb Z_4\times \mathbb Z_6\) का अभिलक्षणिक =2, 4, 6 का ल.स.प. = 12

(2) सही है

(3): चूँकि \(\mathbb Z\over p\mathbb Z\) एक क्षेत्र होगा यदि और केवल यदि p अभाज्य हो इसलिए \(\mathbb Z\over 3\mathbb Z\) क्षेत्र है।

(4) सही है

(3) सही नहीं है

स्पष्टीकरण:

मुख्य गुणजावली वलय के गुणधर्म से हम यह जान सकते हैं कि -

प्रत्येक वलय R का कम से कम एक मुख्य गुणजावली अर्थात् (0) होता है।

पूर्णांकों का वलय एक मुख्य गुणजावली वलय है। 

प्रत्येक क्षेत्र एक मुख्य गुणजावली वलय होता है। 

इकाई अवयव वाले प्रत्येक वलय में कम से कम दो मुख्य गुणजावली (0) और (1) होता है। 

अतः विकल्प (4) सत्य नहीं है।