Power Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Power Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 15, 2025
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Power Series Question 1:
घात श्रेणी \( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\) के लिए अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
घात श्रेणी:
\(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) के रूप की श्रेणी को एक बिंदु z = z0 के सापेक्ष घात श्रेणी कहा जाता है।
यदि z0 = 0 है, तब z0 = 0 के सापेक्ष घात श्रेणी \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nz^n\) है।
अभिसरण की त्रिज्या:
माना \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) एक घात श्रेणी है और माना R वृत्त की त्रिज्या है जिसमें घात श्रेणी अभिसरण करती है और
\(\frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|a_n|^{\frac{1}[n}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)
गणना:
दी गई घात श्रेणी है:
\( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\)
माना, R अभिसरण की त्रिज्या है।
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}{|\frac{\frac{7^{n\ +\ 1}}{{(n\ +\ 1)}(3x\ -\ 1)^{^{n\ +\ 1\ -\ 1}}}}{\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}}|}\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7^{n + 1}(3x\ -\ 1)^{n-1}}{7^{n }(3x\ -\ 1)^{n}}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7n}{(n\ +\ 1)(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7}{(1\ +\ \frac{1}{n})(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ |\frac{7}{(3x\ -\ 1)}|\) (∵ 1/n = 0)
⇒ R = \(\frac{1}{7}\)|3x - 1|
Power Series Question 2:
घात श्रेणी \( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\) के लिए अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
घात श्रेणी:
\(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) के रूप की श्रेणी को एक बिंदु z = z0 के सापेक्ष घात श्रेणी कहा जाता है।
यदि z0 = 0 है, तब z0 = 0 के सापेक्ष घात श्रेणी \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nz^n\) है।
अभिसरण की त्रिज्या:
माना \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) एक घात श्रेणी है और माना R वृत्त की त्रिज्या है जिसमें घात श्रेणी अभिसरण करती है और
\(\frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|a_n|^{\frac{1}[n}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)
गणना:
दी गई घात श्रेणी है:
\( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\)
माना, R अभिसरण की त्रिज्या है।
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}{|\frac{\frac{7^{n\ +\ 1}}{{(n\ +\ 1)}(3x\ -\ 1)^{^{n\ +\ 1\ -\ 1}}}}{\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}}|}\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7^{n + 1}(3x\ -\ 1)^{n-1}}{7^{n }(3x\ -\ 1)^{n}}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7n}{(n\ +\ 1)(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7}{(1\ +\ \frac{1}{n})(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ |\frac{7}{(3x\ -\ 1)}|\) (∵ 1/n = 0)
⇒ R = \(\frac{1}{7}\)|3x - 1|
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Power Series Question 3:
घात श्रेणी \( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\) के लिए अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
घात श्रेणी:
\(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) के रूप की श्रेणी को एक बिंदु z = z0 के सापेक्ष घात श्रेणी कहा जाता है।
यदि z0 = 0 है, तब z0 = 0 के सापेक्ष घात श्रेणी \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nz^n\) है।
अभिसरण की त्रिज्या:
माना \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) एक घात श्रेणी है और माना R वृत्त की त्रिज्या है जिसमें घात श्रेणी अभिसरण करती है और
\(\frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|a_n|^{\frac{1}[n}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)
गणना:
दी गई घात श्रेणी है:
\( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\)
माना, R अभिसरण की त्रिज्या है।
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}{|\frac{\frac{7^{n\ +\ 1}}{{(n\ +\ 1)}(3x\ -\ 1)^{^{n\ +\ 1\ -\ 1}}}}{\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}}|}\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7^{n + 1}(3x\ -\ 1)^{n-1}}{7^{n }(3x\ -\ 1)^{n}}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7n}{(n\ +\ 1)(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7}{(1\ +\ \frac{1}{n})(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ |\frac{7}{(3x\ -\ 1)}|\) (∵ 1/n = 0)
⇒ R = \(\frac{1}{7}\)|3x - 1|
Power Series Question 4:
घात श्रेणी \( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\) के लिए अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
घात श्रेणी:
\(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) के रूप की श्रेणी को एक बिंदु z = z0 के सापेक्ष घात श्रेणी कहा जाता है।
यदि z0 = 0 है, तब z0 = 0 के सापेक्ष घात श्रेणी \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nz^n\) है।
अभिसरण की त्रिज्या:
माना \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z\ -\ z_0)^n\) एक घात श्रेणी है और माना R वृत्त की त्रिज्या है जिसमें घात श्रेणी अभिसरण करती है और
\(\frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|a_n|^{\frac{1}[n}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)
गणना:
दी गई घात श्रेणी है:
\( \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}[\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}]\)
माना, R अभिसरण की त्रिज्या है।
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}{|\frac{\frac{7^{n\ +\ 1}}{{(n\ +\ 1)}(3x\ -\ 1)^{^{n\ +\ 1\ -\ 1}}}}{\frac{7^n}{n(3x\ -\ 1)^{n\ -\ 1}}}|}\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7^{n + 1}(3x\ -\ 1)^{n-1}}{7^{n }(3x\ -\ 1)^{n}}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7n}{(n\ +\ 1)(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ \mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{\infty}}}|\frac{7}{(1\ +\ \frac{1}{n})(3x\ -\ 1)}|\)
\(⇒ \ \frac{1}{R}\ =\ |\frac{7}{(3x\ -\ 1)}|\) (∵ 1/n = 0)
⇒ R = \(\frac{1}{7}\)|3x - 1|