Set Theory & Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Set Theory & Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

→ (9, 1) का LUB = 9

∴ 1 इसका पूरक नहीं हो सकता है। 

→ (9, 2) का LUB = 36

(9, 2) का GLB = 1

∴ 2 इसके पूरक में है। 

→ (9, 3) का LUB = 9

∴ 3 इसका पूरक नहीं हो सकता है। 

→ (9, 4) का LUB = 36

(9, 4) का GLB = 1

∴ 4 इसका पूरक है। 

→ (9, 6) का LUB = 36

(9, 6) का GLB = 3

∴ 6 इसका पूरक नहीं हो सकता है। 

→ (9, 36) का LUB = 36

(9, 36) का GLB = 9

∴ 36 इसका पूरक नहीं हो सकता है। 

9 के पूरक: 2 और 4 है। 

महत्वपूर्ण बिंदु:

GLB महत्तम निम्न परिबंध है। 

एक अर्ध योजक परिपथ मूल रूप से XOR गेट के साथ AND गेट का बना होता है, जैसा नीचे दर्शाया गया है।

• एक अर्ध योजक को XOR गेट के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि XOR को योग उत्पादित करने के लिए दोनों इनपुटों पर लागू किया जाता है।
• अर्ध योजक केवल दो बिट (A और B) जोड़ सकता है और इसका कैरी के साथ कोई संबंध नहीं होता है।
• यदि अर्ध योजक के लिए इनपुट एक कैरी है, तो यह इसे नजरअंदाज करेगा और केवल A और B बिट को जोड़ेगा।
• इसका अर्थ है कि द्विधारी संयोजन प्रक्रिया पूर्ण नहीं है और इसी कारण यह एक अर्ध योजक है।

योग (S) = A⊕B, कैर्री = A.B

सही उत्तर I है, लेकिन II नहीं ।

• NAND गेट गेटों का एक कार्यात्मक पूर्ण सेट है।
• लॉजिक गेट में, लॉजिकल संयोजकों या बूलियन ऑपरेटरों का एक कार्यात्मक पूर्ण संग्रह वह है, जिसका उपयोग सेट के सदस्यों को बुलियन अभिव्यक्ति में जोड़कर सभी संभव सत्य तालिकाओं को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।
• संबंधकों का एक प्रसिद्ध पूरा सेट {AND, NOT} है और प्रत्येक एकल सेट {NAND} कार्यात्मक रूप से पूर्ण है, जिसमें द्विआधारी संयोजन और नकार शामिल है।
• NAND गेट एक लॉजिक गेट है जो केवल तभी गलत आउटपुट देता है जब उसके सभी इनपुट मान्य होते हैं, इसलिए इसका आउटपुट AND और गेट का पूरक होता है।
• एक कम आउटपुट केवल परिणाम देता है यदि गेट के सभी इनपुट उच्च हैं; यदि कोई इनपुट कम है तो एक उच्च आउटपुट परिणाम।

Key Points

स्पष्टीकरण:
प्रश्न अरिक्त समुच्चय A, B, C \(\Rightarrow 4^3\) – (कोई भी समुच्चय जो रिक्त है) के बारे में है
\(A = \phi\) पर विचार करें
सार्वत्रिक समुच्चय \(= \{2,3,5\}\) में 3 अवयव हैं \(\Rightarrow~ B~ has~ 2^3\) संभावित विकल्प हैं, और प्रत्येक संभावित B समुच्चय के लिए, हमें C के संभावित समुच्चयों की गणना करने की आवश्यकता है। चूँकि \(B \subseteq C\) , B में उपस्थित अवयव, C में भी उपस्थित होने चाहिए। सार्वत्रिक समुच्चय के शेष अवयवों के पास दो विकल्प हैं; C में उपस्थित या C में उपस्थित नहीं होना।

\(if ~B = \phi\) (B में अवयवों की संख्या = 0) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-0} = 2^3\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{1\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 1) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-1} = 2^2\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{2\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 1) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-1} = 2^2\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{3\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 1) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-1} = 2^2\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{1, 2\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 2) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-2} = 2^1\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{1, 3\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 2) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-2} = 2^1\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या

\(\textbf{if } B = \{2, 3\}\) (B में अवयवों की संख्या = 2) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-2} = 2^1\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\(​\textbf{if } B = \{1, 2, 3\}\) (B में अवयवों की संख्या = 3)} \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-3} = 2^0\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
∴ \( \binom{n}{0} \cdot 2^n + \binom{n}{1} \cdot 2^{n-1} + \cdots + \binom{n}{r} \cdot 2^{n-r} \cdots + \binom{n}{n} \cdot 2^0 = (1 + 2)^n = 3^n = 3^3 = 27 \)
\(∴ \text{when } A = \phi, \text{ possible sets of B and C are 27} \)
अंतिम उत्तर = \(4^3 - 3^3 = 37\)

व्याख्या:

1. 10110.10 को दशमलव में बदलें:
पूर्णांक भाग:

\(10110_2 = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \\ \quad \quad\quad = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22\)

भिन्नात्मक भाग:

\(0.10_2 = 1 \times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} \\ \quad \quad = 0.5 + 0 = 0.5 \)
\(10110.10\) के लिए कुल \(22 + 0.5 = 22.5\)

2. 11010.01 को दशमलव में बदलें:
पूर्णांक भाग:

\( 11010_2 = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \\ = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26\)

भिन्नात्मक भाग:

\(0.01_2 = 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} \\ = 0 + 0.25 = 0.25\)

\(11010.01\) के लिए कुल \(26 + 0.25 = 26.25\)

3. 10101.11 को दशमलव में बदलें:
पूर्णांक भाग:

\( 10101_2 = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \\ = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21\)

भिन्नात्मक भाग:

\(0.11_2 = 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} \\ = 0.5 + 0.25 = 0.75\)

\(10101.11\) के लिए कुल \(21 + 0.75 = 21.75\)

4. तीन दशमलव संख्याओं का योग:
\( 22.5 + 26.25 + 21.75 = 70.5\)

इस प्रकार, दशमलव में कुल योग 70.5 है।

सही विकल्प (3) है।

Data:

Number of elements in a set = n = 5

Formula:

Total number of reflexive relations in a set = \(2^{n^2 -n}\)2n2−n2n2−n" role="presentation" style="display: inline; position: relative;" tabindex="0">-1--12n2−n2n2−n" id="MathJax-Element-4-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">2n2−n2n2−n 2n2−n

Calculation:

Total number of reflexive relations in a set =  \(2^{5^2 -5} =2^{20}\)242−4=212" role="presentation" style="display: inline; position: relative;" tabindex="0">SSo, the

So, the correct answer is 2²⁰242−4=212" role="presentation" style="display: inline; position: relative;" tabindex="0">42−4

अवधारणा:

बुलियन बीजगणित के महत्वपूर्ण अभिगृहीत और डी मॉर्गन के नियम:

1. दोहरा व्युत्क्रमण \(\overline{\overline A} = A\)
2. A . A = A
3. A . \(\overline A \)  = 0
4. A + 1 = 1
5. A + A = A
6. A + \(\overline A \)  = 1

डी मॉर्गन के नियम:

नियम 1: \(\overline {{\bf{A}} + {\bf{B}}} = \overline{A}\;.\overline B\)

नियम 2: \(\overline {{\bf{A}}\;.{\bf{B}}} = \overline A +\overline B\)

गणना:

माना कि दिया गया फलन Y है

Y = AB + AC

अबबूलियन बीजगणित के महत्वपूर्ण गुणों का उपयोग करके विस्तार करते हुए:

Y = AB(C + C̅) + AC(B + B̅)

Y = ABC + ABC̅ + ACB + ACB̅ 

चूँकि ABC + ACB = ABC 

Y = ABC + ABC̅ + ACB̅

Y निम्न रूप में भी लिखा जा सकता है:

Y = ABC + ABC' + AB'C

इसलिए विकल्प (4) सही उत्तर है।

Important Points

समुच्चय सिद्धांत में सर्वनिष्ठ और सम्मिलन मूल संचालन हैं।

दो समुच्चय के सम्मिलन को एक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें पुनरावृत्ति के बिना दोनों समुच्चयों में होने वाले सभी मान शामिल होते हैं।

दो समुच्चयों के सर्वनिष्ठ को एक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें दोनों मानों के लिए समान मान शामिल होते हैं।

इसलिए,

A∩B = {3, 4}, A∩C = {4, 6, 8}

संकल्पना

उपसमूहों के लैगरेंज प्रमेय के अनुसार समूह के क्रम को विभाजित करना चाहिए।

समूह का गुण बताता है कि यदि किसी समूह के पास मुख्य क्रम है तो वह चक्रीय है।

स्पष्टीकरण:

चूंकि G का क्रम 6 है। इसलिए इसके उपसमूह का क्रम 1,2,3,6 हो सकता है

H स्थिति 1< |H| <6 के साथ इसके उपसमूहों में से एक है  इसलिए H क्रम 2 या 3 का हो सकता है जो कि मुख्य है

इसलिए H को चक्रीय होना चाहिए

G का क्रम 6 है जो अभाज्य नहीं है और इसलिए यह चक्रीय हो भी सकता है और नहीं भी

इसलिए विकल्प 2 सही है

दो समुच्चयों का सममितीय अंतर वह समुच्चय होता है जिसमें ऐसे अवयव होते हैं जो ठीक एकैकी समुच्चय होते हैं।

\(A\Delta B = (A-B) \cup (B-A)\)

= {2, 4, 9}

जब दो स्विच समानांतर में जुड़े होते हैं, तो परिपथ एक OR गेट के रूप में कार्य करता है

जब कम से कम स्विच A और स्विच B में से एक बंद होता है, तो इनपुट X आउटपुट Y से जुड़ा होता है। 

उपरोक्त सत्य सारणी से परिपथ आरेख एक OR गेट अर्थात् (A + B) दर्शाता है। 

जब दो स्विच श्रेणी में जुड़े होते हैं, तो परिपथ एक AND गेट के रूप में कार्य करता है।

अब, जब स्विच A और स्विच B दोनों बंद होते हैं, तो इनपुट X आउटपुट Y से जुड़ा होता है। 

उपरोक्त सत्य सारणी से परिपथ आरेख एक AND गेट अर्थात् Y = AB दर्शाता है। 

संकल्पना:  

• समुच्चय A में संबंध R कहलाता है
•   स्वतुल्य,यदि (a, a) є R, प्रत्येक a є A के लिए,

उदाहरण के लिए, एक संबंध जिसका अर्थ यह है कि एक रेखा दूसरी रेखा के समानांतर है, एक स्वतुल्य संबंध है क्योंकि प्रत्येक रेखा स्वयं के समानांतर होती है।

• सममित, यदि (a₁, a₂) є R का तात्पर्य है कि (a₂, a₁) є R सभी  a_1, a₂ є A के लिए,

उदाहरण के लिए, एक संबंध जिसका अर्थ यह है कि एक रेखा दूसरी रेखा के समानांतर है, एक सममित संबंध है। उदाहरण के लिए, यदि रेखा 1 रेखा 2 के समानांतर है, तो रेखा 2 रेखा 1 के समानांतर है।

• संक्रामक, यदि (a₁, a₂) є R और (a₂, a₃) є R का तात्पर्य है कि (a₁, a₃) є R सभी a_1, a_2, a₃ є A के लिए।

यदि कोई संबंध R एक ही बार में स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, तो इसे तुल्यता संबंध कहा जाता है।

गणना:

दिया गया है:

संबंध R को किसी निश्चित पूर्णांक m  a, b, k ∈ z} के लिए फलन R = {(a, b) | (a - b) = km द्वारा परिभाषित किया गया है

1) उसी संख्या a के लिए, R = a - a = 0 × m, जहाँ m एक निश्चित पूर्णांक है और  0 є z है, इसलिए संबंध R स्वतुल्य है।

2) दो संख्याओं (a, b) के लिए यदि R = a - b = km, जहाँ m एक निश्चित पूर्णांक है और k є z है, तो (b, a), R = b - a = -(a - b) के लिए = -km, जहां -k є z अत: संबंध R सममित है।

3) तीन संख्याओं a, b, और c पर विचार करें. यदि, (a, b), R = a - b = km के लिए और (b, c), R = b - c = lm के लिए, जहाँ m एक निश्चित पूर्णांक है और k, l є z, तब (a, c), R = a - c = a - b + b - c = km + lm = m(k + l) के लिए, जहाँ (k + l) є z, चूँकि k, l є z. अतः संबंध R संक्रामक है।

अत: संबंध R एक तुल्यता संबंध है।

अतः सही उत्तर विकल्प 4 है।

एक अर्ध योजक परिपथ मूल रूप से XOR गेट के साथ AND गेट का बना होता है, जैसा नीचे दर्शाया गया है।

• एक अर्ध योजक को XOR गेट के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि XOR को योग उत्पादित करने के लिए दोनों इनपुटों पर लागू किया जाता है।
• अर्ध योजक केवल दो बिट (A और B) जोड़ सकता है और इसका कैरी के साथ कोई संबंध नहीं होता है।
• यदि अर्ध योजक के लिए इनपुट एक कैरी है, तो यह इसे नजरअंदाज करेगा और केवल A और B बिट को जोड़ेगा।
• इसका अर्थ है कि द्विधारी संयोजन प्रक्रिया पूर्ण नहीं है और इसी कारण यह एक अर्ध योजक है।

योग (S) = A⊕B, कैर्री = A.B

माना,

⇒ n(F) = फेसबुक अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 65%

⇒ n(I) = इन्स्टाग्राम अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 40%

⇒ n(T) = ट्विटर अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 25%

साथ ही,

⇒ n(F ∩ I) = फेसबुक और इन्स्टाग्राम दोनों पर अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 20%

⇒ n(F ∩ T) = इन्स्टाग्राम और ट्विटर दोनों पर अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 12%

⇒ n(I ∩ T) = फेसबुक और ट्विटर दोनों पर अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 14%

⇒ n(F ∩ I ∩ T) = तीनों वेबसाइट पर अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 8%

∵ तीन पदों के वेन आरेख के मूल सूत्र से,

⇒ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

⇒ n(F ∪ I ∪ T) = 65 + 40 + 25 – 20 – 12 – 14 + 8 = 92%

⇒ तीनो वेबसाइट पर अकाउंट वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = 92%

एक समूह को एबेलियन कहा जाता है, यदि (a*b) = (b*a) ∀a, b ∈ G

चूँकि (G, ⋅) एक समूह है,

∴ (ab)-1 = (b-1a-1)             (1)

दिया गया है: (ab)–1 = a–1b–1       (2)

समीकरण (1) एवं समीकरण (2) से,

b-1a-1 = a–1b–1 

चरण 4: दोनों पक्षों को 𝑎 और 𝑏 से गुणा करने पर, 

व्युत्क्रमों को हटाना और यह दर्शाना कि 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎

दाईं ओर दोनों पक्षों को 𝑏 से गुणा करने पर:

𝑏 ^{− 1} 𝑎 ^{− 1} ⋅ 𝑏 = 𝑎 ^{− 1} 𝑏 ^{− 1} ⋅ 𝑏

चूँकि 𝑏 ^{− 1} 𝑏 = 𝑒 ( तत्समक अवयव),

यह इस प्रकार सरल हो जाता है:  𝑏 − 1 𝑎 − 1 𝑏 = 𝑎 − 1 𝑒 = 𝑎 − 1 

इसलिए, हमें प्राप्त होता है: b-1a-1b = a-1 

इसके बाद, दाईं ओर समीकरण (1) के दोनों पक्षों को 𝑎 से गुणा करने पर:

𝑏 ^{− 1} 𝑎 ^{− 1} 𝑏 𝑎 = 𝑎 − 1 𝑎

चूँकि 𝑎 ^{− 1} 𝑎 = 𝑒

यह सरल है: 𝑏 ^{− 1} 𝑎 ^{− 1} 𝑏 𝑎 = 𝑒

तो हमें मिलता है: 𝑏 ^{− 1} ( 𝑎 ^{− 1} 𝑏 ) 𝑎 = 𝑒

चूँकि किसी समूह में, व्युत्क्रम लागू करने पर असमिका प्राप्त होती है,

हमें मिलता है: (𝑎 ^{− 1}𝑏) 𝑎 = 𝑏

अब, बाईं ओर के दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर:

𝑎 (𝑎⁻¹𝑏) 𝑎 = 𝑎 𝑏

इसे सरल किया जा सकता है: eba = ab,

इसलिए हमें प्राप्त होता है: ba = ab

इस प्रकार, हमने दर्शाया है कि 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎

इसलिए यह अबेलियन है