Shear Stress and Bending Stress MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Shear Stress and Bending Stress - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

शुद्ध बंकन में बंकन समीकरण के लिए सही व्यंजक है:

\(\rm \frac{M}{I}=\frac{f}{y}=\frac{E}{R}\)

(जहाँ M = बंकन आघूर्ण, I = उदासीन अक्ष के बारे में अनुप्रस्थ काट का जड़त्व आघूर्ण, f = उदासीन अक्ष से y दूरी पर बंकन प्रतिबल, y = उदासीन अक्ष से दूरी, E = प्रत्यास्थता मापांक, और R = बीम की वक्रता त्रिज्या)

Additional Information 

1. उदासीन अक्ष: बीम के अंदर वह अक्ष जहाँ बंकन के दौरान प्रतिबल शून्य होता है।

2. रैखिक प्रतिबल वितरण: उदासीन अक्ष से रैखिक रूप से बंकन प्रतिबल बदलता है।

3. शुद्ध बंकन मान्यता: यह मानता है कि कोई अपरूपण बल नहीं है; लंबाई के साथ बंकन आघूर्ण स्थिर है।

4. प्रत्यास्थ परास के लिए मान्य: सूत्र तब तक मान्य रहता है जब तक कि पदार्थ प्रत्यास्थ रूप से व्यवहार करता है (कोई प्लास्टिक विरूपण नहीं)।

5. व्युत्पत्ति: विरूपण की ज्यामिति और हुक के नियम पर आधारित।

Explanation:

• Shear lag is a phenomenon that occurs in flanged sections like I-beams and box girders when shear strains modify the distribution of bending stresses.

• It results in non-uniform stress distribution across the flange, causing the edges of the flange to carry less stress than the central region.

• This uneven distribution of stress leads to warping of the section, which is a characteristic effect of shear lag.

 Additional Information

• Local buckling: This is related to instability in thin-walled sections under compressive loads, not shear strain modification.

• Web crippling: This is localized failure in the web of the beam due to high compressive loads, independent of shear lag.

• Torsional instability: This is the twisting failure of sections under torque, not related to shear strain modifications in flanges.

अवधारणा:

τ_max, τ_N.A और τ_avg के बीच संबंधों को दर्शाने वाली तालिका

गणना:

V = 15 KN

b = 200 mm

h = 300 mm

त्रिभुजाकार अनुप्रस्थ काट​ के लिए

\(\therefore \;{{\rm{\tau }}_{N.A}} = \frac{4}{3}{{\rm{\tau }}_{avg}} = \frac{4}{3}\left( {\frac{V}{{\frac{{b \times h}}{2}}}} \right) = \frac{4}{3} \times \left( {\frac{{15000}}{{\frac{{200 \times 300}}{2}}}} \right) =0.6666\; \approx 0.667N/m{m^2}\)

संकल्पना:

बलाघूर्ण T के कारण शाफ़्ट पर अपरूपण प्रतिबल (τmax)

τmax = \(\dfrac{16 T}{\pi D^3}\)

D = शाफ़्ट का व्यास 

वर्णन:

परिधि पर अपरूपण प्रतिबल निम्न है:

τ1 = \(\dfrac{16 T}{\pi D^3}\)

लेकिन, केंद्र पर अपरूपण प्रतिबल (τmin) =  0 [∵ केंद्र पर D = 0]

अतः अपरूपण प्रतिबल किसी रैखिक तरीके में केंद्र पर 0 से परिधि पर τmax तक अलग है। 

Important Points

• एक खोखले शाफ़्ट के लिए अपरूपण प्रतिबल भी रैखिक रूप से परिवर्तित होता है, लेकिन अपरूपण बल की विशिष्ट मात्रा रैखिक सतह पर कार्य करती है। 

संप्रत्यय:

बीम में अधिकतम बंकन प्रतिबल इस प्रकार दिया गया है:

\(σ = \frac{M}{Z}\)

जहाँ, σ बंकन प्रतिबल है, M अधिकतम बंकन आघूर्ण है, और Z अनुभाग मापांक है।

परिकलन:

दिया गया है:

बीम लंबाई, L = 4 मीटर; भार स्थिति, a = 1 मीटर; अनुप्रस्थ काट: 100 मिमी = 0.1 मीटर भुजा वाला वर्ग

अधिकतम अनुमेय प्रतिबल, σ = 9 MN/m² = 9 x 10⁶ N/m²

बाएँ सहारे से a दूरी पर एक बिंदु भार P के लिए, A पर अभिक्रिया है:

\(R_A = P \cdot \frac{(L - a)}{L} = P \cdot \frac{3}{4}\)

अधिकतम आघूर्ण भार के बिंदु पर होता है:

\(M_{\text{max}} = R_A \cdot a = \frac{3P}{4} \cdot 1 = \frac{3P}{4}~\text{Nm}\)

0.1 मीटर भुजा वाले वर्ग अनुप्रस्थ काट के लिए अनुभाग मापांक Z:

\(Z = \frac{b^3}{6} = \frac{(0.1)^3}{6} = 1.6667 × 10^{-4}~\text{m}^3\)

अब, बंकन प्रतिबल सूत्र लागू करें:

\(M = σ \cdot Z = 9 × 10^6 \cdot 1.6667 × 10^{-4} = 1500~\text{Nm}\)

अधिकतम आघूर्ण को समान करते हुए:

\(\frac{3P}{4} = 1500 \Rightarrow P = \frac{1500 \cdot 4}{3} = 2000~\text{N} = 2~\text{kN}\)

व्याख्या

त्रिकोणीय अनुप्रस्थ काट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल \(({\tau _{max}})\)  निम्न द्वारा दिया गया है:

\({\tau _{\max }} = 1.5\) \({\tau _{avg}}\) h/2 दूरी पर

जहाँ,

\({\tau _{avg}}\) = अनुप्रस्थ काट में औसत अपरूपण प्रतिबल

अनुप्रस्थ काट के उदासीन अक्ष पर अपरूपण प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है:

\({\tau _{N.A}} = 1.33\) \({\tau _{avg}}\)

Important Points

स्पष्टीकरण:

कुछ महत्वपूर्ण आरेखों में अपरुपण प्रतिबल नीचे दिया गया है।

संकल्पना-

किसी भी अनुप्रस्थ काट के लिए, हमारे पास बंकन समीकरण इस प्रकार है

\(\frac{\sigma }{y} = \frac{M}{I} = \frac{E}{R}\)

σ = NA से दूरी y पर प्रतिबल, M = उसी c/s पर 

I = तटस्थ अक्ष के बारे में MOI,  E = प्रत्यास्थता मापांक

R = वक्रता की त्रिज्या

गणना

a) किसी भी T-अनुभाग के लिए:

y2 > y1

जैसा कि तटस्थ अक्ष अनुप्रस्थ काट का केंद्रक अक्ष है।

तो, तटस्थ अक्ष T-अनुभाग के शीर्ष के पास स्थित है।

तो y2 > y1

\({\sigma _{bot}} = \frac{{M \times {y_2}}}{I} \ \& \;{\sigma _{top}} = \frac{{M \times {y_1}}}{I}\)

जैसा कि y2 > y1

तो σbot > σtop

∴ अधिकतम बंकन प्रतिबल अनुभाग के निचले भाग पर होगा।

दोनों समान क्षेत्रफल के हैं \(\Rightarrow {b^2} = \frac{{\pi {d^1}}}{4}\)

\(\Rightarrow b = \frac{d}{2}\sqrt \pi \)

वृत्ताकार अनुभाग सूचकांक के लिए,

\({Z_c} = \frac{{\pi {d^3}}}{{32}}\)

वर्गाकार अनुभाग के लिए,

\(\begin{array}{l} {Z_{square}} = \frac{{{b^3}}}{6} = \frac{{\pi \sqrt \pi {d^3}}}{{48}}\\ \therefore {Z_{square}} = 1.18{Z_{circular}} \end{array}\)

इसलिए समान अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल के लिए, वर्गाकार अनुभाग बंकन में वृत्ताकार अनुभाग से बेहतर होता है।

नोट:-

समान अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल के लिए अनुभाग का क्रम बढ़ते हुए बंकन सामर्थ्य के रूप में होगा।

संकल्पना:

वृत्ताकार बीम में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल-

\(Maximum\, shear\, stress\,(\tau_{max})=({4\over 3})\tau_{ave}={4\over 3}×{Shear force\over Area}\)

गणना:

दिया गया आंकड़ा:

अपरूपण बल (F) = 40π kN

पदार्थ में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल(\(\tau_{max}\)) = 6 MPa या 6 N/mm²

वृत्ताकर बीम का सुरक्षित व्यास (D) =?

सुरक्षा गुणक (FOS) = 2

गुणित अपरूपण बल ​(F') = सुरक्षा गुणक × अपरूपण बल(F)

गुणित अपरूपण बल (F') = 2 × 40π = 80π kN

गुणित अपरूपण बल (F') = 80π × 10³ N

\(Maximum\, shear\, stress\,(\tau_{max}) = {4\over 3}×{Shear force\over Area}\)

\(6={4\over 3}\times {80\pi \times 10^3\over {\pi\over 4}D^2}\)

\(6={4\over 3}\times {4\times 80 \times 10^3\over D^2}\)

\(D^2={4\over 3}\times {4\times 80 \times 10^3\over 6}\)

\(D^2=71.111\times 10^3\)

\(D=266.666\, mm\)

आधार से अधिकतम कतरनी तनाव h/2 पर होता है

तटस्थ अक्ष से दूरी\(= \frac{{\rm{h}}}{2} - \frac{{\rm{h}}}{3} = \frac{{\rm{h}}}{6}\)

यहाँ  

\({{\rm{\tau }}_{{\rm{avg}}}} = \frac{{{{\rm{V}}_{\rm{u}}}}}{{\frac{1}{2}{\rm{bh\;}}}}\)

जहां, V_u =अधिकतम कतरनी बल

∴ तटस्थ अक्ष से सही उत्तर h/6 है।

संकल्पना:

त्रिकोणीय खण्ड में अपरुपण प्रतिबल​ का वितरण:

उदासीन अक्ष अपरुपण प्रतिबल और औसत अपरुपण प्रतिबल के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है :

\({{\bf{\tau }}_{{\bf{neut}}}} = \frac{4}{3}\times{{\bf{\tau }}_{{\bf{avg}}}} = \frac{4}{3}\times\frac{F}{A} = \frac{4}{3}\times\frac{F}{{\frac{1}{2}bh}}\)

\(\therefore {{\bf{\tau }}_{{\bf{neut}}}} = \frac{{8F}}{{3bh}}\)

संकल्पना:

बंकन सूत्र के अनुसार:

\(\frac{\sigma }{y} = \frac{M}{I} = \frac{E}{R}\)   

जहाँ

M = भार के कारण बंकन आघूर्ण, σ = बंकन प्रतिबल, E = प्रत्यास्थता मापांक, R = वक्रता की त्रिज्या, y = उदासीन अक्ष से बाह्य फाइबर की दूरी 

I उदासीन अक्ष के चारों ओर MOI है और निम्न द्वारा दिया जाता हैः

\(I = \frac{{b{d^3}}}{{12}}\)

गणना:

दिया गया है:

E = 2 × 10⁵ N/mm², R = 10 m = 10 × 10³ mm, A = 120 mm × 20 mm, y = 10 mm

जैसा कि हम जानते हैं,

\(\frac{\sigma }{y} = \frac{E}{R}\)

\(\frac{\sigma }{{10}} = \frac{{2\; ×\; {{10}^5}}}{{10\; × \;{{10}^3}}} \Rightarrow \sigma = 200\;N/{mm^2}\)

व्याख्या:

प्रत्यक्ष तनन बल, T = 260 kN

स्टील में अनुमेय प्रतिबल, σ_st = 130 MPa

टंकी का व्यास, d = 1.3 m

यह माना जाता है कि टंकी में पानी की टंकी पर सर्वत्र लागू तनन बल का विरोध तनन प्रबलन द्वारा किया जाना है। इसलिए, प्रति मीटर चौड़ाई के लिए आवश्यक स्टील के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

स्टील में अनुमेय प्रतिबल (σ_st) × स्टील का प्रति मीटर चौड़ाई क्षेत्रफल (A_st)  = प्रत्यक्ष तनन बल (T)

130 × A_st = 260 × 1000 N

हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

A_st = 2000 mm²/m

संकल्पना:

हमारे पास बीम के लिए बंकन समीकरण है, जैसे कि

\(\frac{\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }}{\text{y}}=\frac{\text{M}}{\text{I}}=\frac{\text{E}}{\text{R}}\)

जहाँ,

σ = बंकन प्रतिबल, y = उदासीन अक्ष से दूरी, M = किसी खण्ड का बंकन आघूर्ण , I = जड़त्व आघूर्ण , E = सामग्री का प्रत्यास्थता मापांक,और R = वक्रता की त्रिज्या

जब एक बीम को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि चरम फाइबर को अधिकतम अनुमत प्रतिबल ρmaxपर c / s परिवर्तित करके भारित किया जाता है, तो इसे एकसमान सामर्थ्य वाली बीम के रूप में जाना जाएगा।

\(\therefore \frac{\sigma }{y}=\frac{M}{I}\)

\(\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }=\frac{\text{M}\times \text{y}}{\text{b}{{\text{d}}^{3}}/12}\)

\(\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }=\frac{\text{M}\times {{\text{d}}_{\text{x}}}\times 12}{\text{bd}_{\text{x}}^{2}\times 2}\therefore \text{y}={{\text{d}}_{\text{x}}}/2\)

\(\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }=\frac{6\text{M}}{\text{bd}_{\text{x}}^{2}}\)

\(\text{d}_{\text{x}}^{2}=\frac{6\text{M}}{\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ b}}\Rightarrow {{\text{d}}_{\text{x}}}=\sqrt{\frac{6\text{M}}{\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ b}}}\)

\(\therefore {{\text{d}}_{\text{x}}}\propto \sqrt{\text{M}}\)