Sine Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sine Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हमें कोणों वाला त्रिभुज दिया गया है:

\( \angle B = x = 30^\circ\)

\( \angle A = 3x = 90^\circ \)

\(\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

चरण 1: जाँचें कि क्या कोणों का योग 180° है:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 90^\circ + 30^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)

यह पुष्टि करता है कि कोण त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म को संतुष्ट करते हैं।

कथन I. त्रिभुज समकोण है।

चूँकि\( \angle A = 90^\circ \), त्रिभुज समकोण है।

कथन III: III. त्रिभुज के कोण A, C और B समांतर श्रेढ़ी में हैं।

कोण \(30^\circ 60^\circ , \text and 90^\circ \) समांतर श्रेढ़ी में हैं क्योंकि:

\( 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \quad \text{और} \quad 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

यह पुष्टि करता है कि कोण समांतर श्रेढ़ी में हैं।

कथन II सही नहीं है क्योंकि किसी भुजा के दूसरे के 3 गुना होने का कोई उल्लेख नहीं है।

∴ सही उत्तर विकल्प (I) और (III) सही हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

हमें ज्या का उपयोग करके भुजाओं के अनुपात के लिए निम्न समीकरण दिया गया है:

\( \frac{a}{\sin(3x)} = \frac{b}{\sin(x)} \)

\( \frac{a}{b} = \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \)

चरण 3: sin(3x) के लिए सर्वसमिका का उपयोग करें, जो \(\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \) है, और इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

\( 2 = \frac{3\sin(x) - 4\sin^3(x)}{\sin(x)} \)

\( 2\sin(x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \)

\( -\sin(x) + 4\sin^3(x) = 0 \)

\( \sin(x)(4\sin^2(x) - 1) = 0 \)

इस समीकरण के लिए हमारे पास दो संभावित हल हैं:

\( \sin(x) = 0 \), जो x = \(0^\circ \) देता है (इस स्थिति में मान्य नहीं है)।

\( 4\sin^2(x) - 1 = 0 \), जो सरल करता है:

\( \sin^2(x) = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \sin(x) = \frac{1}{2} \)

\( x = 30^\circ \)

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है। 

गणना

माना कि भुजाएँ \(a-d, a, a+d\) हैं।

यह समझा जा सकता है कि \(a > d > 0\) और आकृति से, \(\angle C\) अधिकतम है और \(\angle A\) न्यूनतम है।

दी गई शर्त के अनुसार, \(C = 2A\) है। 

और इसलिए, \(B = \pi - (A + C) = \pi - 3A\) 

अत: ज्या नियम से हमारे पास है,

\(\dfrac{a+d}{\sin C} = \dfrac{a-d}{\sin A} = \dfrac{a}{\sin B}\)

या \(\dfrac{a+d}{\sin 2A} = \dfrac{a-d}{\sin A} = \dfrac{a}{\sin(\pi - 3A)}\) .

\(\therefore 2\cos A = \dfrac{a+d}{a-d}\) और \(\dfrac{a}{a-d} = \dfrac{\sin 3A}{\sin A}\) ।

\(\therefore \dfrac{a}{a-d} = 3 - 4\sin^2 A = 3 - 4 + (2\cos A)^2\) .

\(\therefore \dfrac{a}{a-d} = 1 + \left(\dfrac{a+d}{a-d}\right)^2 = \dfrac{4ad}{(a-d)^2}\) .

\(a \neq 0\) \(\therefore a-d = 4d\) या \(a = 5d\) 

\(\therefore\) भुजाएँ \(a-d, a, a+d\) या \(4d, 5d, 6d\) है। 

अतः अभीष्ट अनुपात \(4:5:6\) है।

तो इसकी भुजाओं के अनुपात का योग = 15

गणना:

\(\frac{c }{sin 30} = \frac{4 √ 3}{ sin 120}\) [ज्या नियम से]

⇒ 2c = 8 ⇒ c = 4

⇒ AB = |(b + 1)| = 4

⇒ b = 3 ,   mAB = 0 

⇒ mBC =\( \frac{− 1 }{√ 3 }\) 

BC : − y = \(\frac{−1}{√ 3}( x − 3 ) \)

⇒ √ 3y + x = 3

प्रतिच्छेदन बिंदु:  y = x + 3, √ 3y + x = 3

⇒ \((\sqrt{3} + 1) y = 6 \)

⇒ \(y = \frac{6}{ √ 3 + 1}\)

⇒ \(x = \frac{6} {√ 3 + 1 }− 3 \)

⇒ x =\(\frac{ − 6}{ ( 1 + √ 3 )^ 2}\)

\(\rm \frac{\beta^2}{\alpha^2}\) = \(\frac{6^4}{ (√ 3 + 1)^4}\times\frac{ ( 1 + √ 3 )^ 4}{ (− 6)^2}\) = 36

संकल्पना:

एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है।

ज्या नियम:

\({a\over sinA} = {b\over sinB} = {c\over sinC}\) = 2R

• यहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।
• A, B और C त्रिभुज के कोण हैं।
• R त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या है।

गणना:

दिया गया है कि,

एक त्रिभुज ABC के कोण A, B और C का अनुपात 3 ∶ 5 ∶ 4 है।

माना त्रिभुज ABC के कोण A, B और C, 3x, 5x, 4x हैं।

3x + 5x + 4x = 180

12x = 180

x = 15

एक त्रिभुज ABC के A, B और C 45°, 75°, 60° हैं

ज्या नियम का प्रयोग करने पर,

\({a\over sinA} = {b\over sinB} = {c\over sinC}\)

\({a\over sin45} = {b\over sin75} = {c\over sin60}\)

\({a\over {1\over {\sqrt2}}} = {b\over {{{\sqrt 3} - 1 \over {2 \sqrt 2}}}} = {c\over{{{\sqrt3}\over 2}}} = k\)

\({a= {1\over {\sqrt2}}}k, \:{b = {{{\sqrt 3} + 1 \over {2 \sqrt 2}}}}k, \:c ={{{\sqrt3}\over 2}} k\)

a2 ∶ b2 ∶ c2 = \(({1\over {\sqrt2}}k)^2 :({{{\sqrt 3} + 1 \over {2 \sqrt 2}}}k)^2:({{{\sqrt3}\over 2}} k)^2\)

a2 ∶ b2 ∶ c2 = \({1\over {2}} :{{{4 + 2\sqrt 3}\over {8}}}:{{{3}\over 4}}\)

a2 ∶ b2 ∶ c2 = \({2} :{{{2 + \sqrt 3}}}:{3}\)

दिया गया है:

 sin (C + D) = √3/2

sec (C - D) = 2/√3

गणना:

यदि  sin (C + D) = √3/2 और sec (C - D) = 2/√3

तो,

⇒ C + D = 60°.............(1)

⇒ C - D = 30°..............(2)

1 और 2 को हल करने पर,

C = 45°

D = 15°

∴ विकल्प 1 सही उत्तर है।

अवधारणा:

साइन नियम ⇔ \(\frac{{\rm{a}}}{{\sin {\rm{A}}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{b}}}{{\sin {\rm{B}}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{c}}}{{\sin {\rm{C}}}}\)

जहां a, b और c भुजाएं हैं और A, B और C कोण हैं।

यहाँ; भुजा a कोण A के सामने होता है, भुजा b कोण B के सामने होता है और भुजा c कोण C के सामने होता है

गणना:

यहाँ, A, B और C समान्तर श्रेणी में हैं

तो, 2B = A + C

और त्रिभुज के कोणों का योग, A + B + C = 180 °

⇒ 2B + B = 180 

⇒ 3B = 180 

⇒ B = 60°

अब, साइन नियम द्वारा,

\(\frac{{\rm{a}}}{{\sin {\rm{A}}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{b}}}{{\sin {\rm{B}}}} \)

\(\rm ⇒ \frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\sin A}\)

\(\rm ⇒ \frac{√3 }{1}=\frac{\sin 60^o}{\sin A}\)

⇒ sin A = (√3/2) × (1/√3)

⇒ sin A = 1/2

⇒ A = 30°

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

संकल्पना:

ज्या नियम:

\(\rm \frac{sin\: A}{a} = \frac{sin\: B}{b} = \frac{sin\: C}{c} \)

जहाँ a, b और c भुजाएँ हैं और A, B और C कोण हैं।

यहां; भुजा a का फलक कोण A, भुजा b का फलक कोण B और भुजा c का फलक कोण C की ओर है

गणना:

दिया गया है: a = 2, b = 4 और sin A = 1/4

\(\rm \frac{sin\: A}{a} = \frac{sin\: B}{b}\)

⇒ \(\rm \frac{1/4}{2} = \frac{sin\: B}{4}\)

⇒ ज्या B = \(\rm 1\over2\)

⇒ B = 30∘ = \(\rm \pi\over6\)

Additional Information

कोसाइन नियम:

cos A = \(\rm \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\)

cos B = \(\rm \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ac}\)

cos C = \(\rm \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\)

संकल्पना:

ΔABC में, साइन नियम

\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {c}{sin\;C} \)

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times base \;\times height \)

गणना:

दिया गया है, ΔABC में यदि sin2 A + sin2 B = sin2 C और 

l(AB) = 10 ⇒ c = 10 है। 

⇒ a2 + b2 = c2

पाइथागोरस प्रमेय सत्यापित है। 

\(\rm \angle C = 90^\circ\)

इसलिए, ΔABC समकोण त्रिभुज है।

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times base \;\times height \)

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times a \times b\)....(1)

साइन नियम से, हमारे पास निम्न हैं 

\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {c}{sin\;C} \)

⇒\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {10}{sin\; 90^\circ} \)

⇒\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {10}{1} \)

⇒\(\rm a = 10\;sin\;A\) and \(\rm b = 10\;sin\;B\)

समीकरण (1) निम्न हो जाता है, 

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times 10 \;sin\; A \times 10\;sin\; B \)

⇒\(\rm A (ΔABC) = 50 \times sin\; A \times sin\; B \) ....(2)

चूँकि, \(\rm \angle C = 90^\circ\) और त्रिभुज के सभी कोण का योग 180º है। 

\(\rm \angle (A+B) = 90^\circ\)

⇒Max (\(\rm sin\; A \times sin\; B\)) = \(\rm \dfrac 1 2\)

समीकरण (2) निम्न हो जाता है, 

\(\rm A (ΔABC) = 50 \times \dfrac 1 2 \)

\(\rm A (ΔABC) = 25 \)

संकल्पना:

पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। 

भुजाएं a, b, c होनेवाले त्रिभुज ABC में sine नियम:

\(\rm \frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=k\)

sin A - cos B =\(\rm 2\cos(\frac{A +B}{2})\sin(\frac{A -B}{2})\)

गणना:

1. हमारे पास है,

sin \(\rm B = \frac 1 3=\frac{P}{H}\)

इसलिए, समकोण त्रिभुज को इस प्रकार खींचा जा सकता है,

यहाँ, P = 1
H = 3
B = x

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

32 = 12 + x2

x2 = 8

\(\therefore x=2\sqrt{2}\)

अब , Cosec C = \(\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

अत: कथन (1) सही नहीं है।

2. दिया गया है कि,

b cos B = c cos C

sine नियम का उपयोग करते हुए,

\(\rm \frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac{1}{K}\)

⇒ b = K sin B और c = K sin C

⇒ 2 sin B cos B = 2 sin C cos C

माना,
K = 2

⇒ 2 sin B cos B = 2 sin C cos C

⇒ sin 2B = sin 2C  [2 sin x cos x = sin 2x]

⇒ sin 2B - sin 2C = 0

सूत्र का उपयोग करने पर:

sin C - sin D = 2 cos \((\frac{C+D}{2})\) × sin \((\frac{C-D}{2})\)

⇒ 2 cos (B + C) sin (B - C) = 0

इस मामले में,

या तो,

cos (B + C) = 0

इसलिये, (B + C) = 90° .... (1)

या,

या sin (B -C) = 0

B - C = 0

⇒ B = C  .... (2)

समीकरण (1) और (2) से,

B = C = 45°

अत: ABC समद्विबाहु होना चाहिए

अत: विकल्प (2) सही है

संकल्पना:

त्रिभुज ABC में sine नियम के अनुसार 

\(\frac{a}{\text{sinA}}=\frac{b}{\text{sinB}}=\frac{c}{\text{sinC}}\) जहाँ a, b, c भुजाएं हैं और A, B, C त्रिभुज के कोण हैं। 

गणना:

एक त्रिभुज ABC में, c = 2, A = 45°, \({\rm{a}} = 2\sqrt 2 \),

दिए गए त्रिभुज में sine नियम का प्रयोग करने पर,

 \(\frac{a}{\text{sinA}}=\frac{c}{\text{sinC}}\\ \Rightarrow \frac{2\sqrt2}{\text{sin45}}=\frac{2}{\text{sinC}}\\\Rightarrow \text{sinC} = \frac{\text{sin45}}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2\sqrt2}\\ \Rightarrow \text{sinC} =\frac{1}{2}\\ \Rightarrow C =30\)

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

त्रिभुज ABC में, ज्या नियम के अनुसार

\(\rm \frac{a}{\text{sin A}}=\frac{b}{\text{sin B}}=\frac{c}{\text{sin C}}\)

जहाँ, a, b, c भुजाएँ हैं और A, B, C त्रिभुज के कोण हैं।

त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है 

गणना:

दिया गया है: ∠C = 75°, ∠B = 45° और a = √3

∠A + ∠B + ∠C = 180° 

⇒ ∠A = 180° - 75° - 45° 

⇒ ∠A = 60° 

ज्या नियम

\(\frac{a}{\text{sinA}}=\frac{b}{\text{sinB}}\)

⇒ \(\rm \frac {√3}{sin\ 60^0}\ = \ \frac {b}{sin\ 45^0}\)

⇒ \(\rm \frac {√3}{\frac {√3}{2}}\ = \ \frac {b}{\frac {1}{√2}}\)

⇒ \(\rm b\ = \frac {2}{√2}\)

⇒ b = √2 

संकल्पना:

एक त्रिभुज ABC को लेने पर,

कोसाइन नियम:

\(\cos {\rm{C}} = \frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{c}}^2}}}{{2{\rm{ab}}}}\)

साइन नियम:

\(\frac{{\rm{a}}}{{\sin {\rm{A}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{\sin {\rm{B}}}} = \frac{{\rm{c}}}{{\sin {\rm{C}}}}\)

गणना:

दिया गया है: a = (1 + √ 3) सेमी, b = 2 सेमी और ∠C = 60°

हम जानते हैं कि, \(\cos {\rm{C}} = \frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{c}}^2}}}{{2{\rm{ab}}}}\)

\( \Rightarrow \cos 60^\circ = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2} - {{\rm{c}}^2}}}{{2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( 2 \right)}}\)

⇒ 2(1 + √3) = 1 + 3 + 2√3 + 4 – c²

⇒ c² = 6

⇒ c = √6

sin नियम का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\frac{{\rm{a}}}{{\sin {\rm{A}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{\sin {\rm{B}}}} = \frac{{\rm{c}}}{{\sin {\rm{C}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\sin {\rm{A}}}} = \frac{2}{{\sin {\rm{B}}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sin 60^\circ }}\)

⇒ sin B = (2 / √6) × sin 60°

\( \Rightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

⇒ B = 45°

अब, त्रिभुजों के सभी कोण का योग = 180° 

⇒ A + B + C = 180°

⇒ A = 180° – 45° – 60°

⇒ A = 75°

अवधारणा:

साइन नियम:

\(\rm \frac{sin\: A}{a} = \frac{sin\: B}{b} = \frac{sin\: C}{c} \)

जहां a, b और c पक्ष हैं और A, B और C कोण हैं।

यहाँ; पक्ष a कोण A की ओर उन्मुख है, पक्ष b कोण B की ओर उन्मुख है और पक्ष c कोण C की ओर उन्मुख है

गणना:

दिया हुआ है कि:

a = 3, b = 4 और sin A = 3/4

\(\rm \frac{sin\: A}{a} = \frac{sin\: B}{b}\)

\(\rm \frac{3/4}{3} = \frac{sin\: B}{4}\)

sin B = 1

B = 90∘ = π/2

Additional Information

कोसाइन नियम:

cos A = \(\rm \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\)

cos B = \(\rm \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ac}\)

cos C = \(\rm \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\)

संकल्पना:

\(\rm \frac{a}{\ sin\;A}=\frac{b}{sin\;B}=\frac{c}{sin\;C} =\rm k\)

गणना:

माना कि a, b, c त्रिभुज की भुजाएं हैं और A, B, C त्रिभुज के कोण हैं। 

हम जानते हैं कि,\(\rm \frac{a}{\ sin\;A}=\frac{b}{sin\;B}=\frac{c}{sin\;C} =\rm k\)

⇒\(\rm \ sin \;A = \frac{a}{k}, \ sin\;B = \frac{b}{k}, \ sin\;C = {c}{k}\)

दिया गया है, sin A + sin B = sin C

⇒ A + B = C.

⇒ a + b = c

यह संभव नहीं है। 

इसलिए, यहाँ कोई त्रिभुज ABC मौजूद नहीं है जिसके लिए sin A + sin B = sin C है। 

(2) दिया गया है, एक त्रिभुज का कोण 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं। 

माना कि त्रिभुज के कोण A = x, B = 2x और C = 3x हैं। 

हम जानते हैं कि, त्रिभुज के कोणों का योग 180° है। 

इसलिए, x + 2x + 3x = 180°

6x = 180°

x = 30º

कोण A = 30º, B = 60º और C =  90º हैं। 

हम जानते हैं कि,\(\rm \frac{a}{\ sin\;A}=\frac{b}{sin\;B}=\frac{c}{sin\;C} =\rm k\)

  \(\rm \frac{a}{\ sin\;30}=\frac{b}{sin\;60}=\frac{c}{sin\;90} =\rm k\)

  \(\rm \frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{1} =\rm k\)

  \(\rm \frac{a}{1}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{c}{2} =\rm k\) 

अतः एक त्रिभुज का कोण 1 : 2 : 3 के अनुपात में है, तो इसकी भुजाएं 1 : √3 : 2 के अनुपात में होगी।