मानक विचलन MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Standard Deviation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

दो वितरणों का विचरण गुणांक = 75 और 80

दो वितरणों के मानक विचलन = 15 और 16

प्रयुक्त सूत्र:

विसरण गुणांक (CV) = (मानक विचलन (σ) / समान्तर माध्य (μ)) x 100

गणना:

पहले वितरण के लिए:

CV = 75, σ = 15

⇒ 75 = (15 / μ) × 100

⇒ μ = (15 × 100) / 75

⇒ μ = 20

दूसरे वितरण के लिए:

CV = 80, σ = 16

⇒ 80 = (16 / μ) × 100

⇒ μ = (16 × 100) / 80

⇒ μ = 20

∴ दो वितरणों के समान्तर माध्य क्रमशः 20 और 20 हैं। 

दिया गया है:

आँकड़ों का प्रसरण = 361

प्रयुक्त सूत्र:

मानक विचलन (SD) = √(प्रसरण)

गणना:

SD = √361

⇒ SD = 19

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

• दी गई शृंखला है: 150, 170, 155, 160, 180, 165, ?

• 150 से शुरू करें
• 20 जोड़ने पर 170 प्राप्त होगा
• 15 घटाने पर 155 प्राप्त होगा
• 5 जोड़ने पर 160 प्राप्त होगा
• 20 जोड़ने पर 180 प्राप्त होगा
• 15 घटाने पर 165 प्राप्त होगा

• +20 (150 + 20 = 170)
• -15 (170 - 15 = 155)
• +5 (155 + 5 = 160)
• +20 (160 + 20 = 180)
• -15 (180 - 15 = 165)

संकल्पना:

मानक विचलन: मानक विचलन परिवर्तनशीलता का सबसे स्थिर माप है। इसलिए यह शोध अध्ययनों में सबसे अधिक प्रयोग किया जाता है।

अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए मानक विचलन की गणना करना:

• अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जा सकती है।
• मानक विचलन के लिए सूत्र =  \(\sqrt{\frac{{∑ X^2}}{N}}\)

जहाँ x = आंकड़ों के माध्य से विचलन, N = छात्रों की कुल संख्या

दिया गया है:

छात्रों के अंक: 85, 65, 55, 42, 69, 83, 92, 77.

गणना:

अंकों का माध्य = \(\frac{85~+~65~+~55~+~42~+~69~+~83~+~92~+~77}{8}\)

= \(\frac{568}{8}\) = 71

हम जानते हैं कि,

मानक विचलन (SD) =  \(\sqrt{\frac{{∑ X^2}}{N}}\)

यहाँ, \(\sum x^2\) = 1954, N = 8

तो,

SD = \(\sqrt{\frac{{1954}}{8}}\)

= \(\sqrt{244.25}\) = 15.63

अतः, दिए गए आंकड़ों का मानक विचलन 15.63 है।

Additional Information

अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए चरण:

1. सभी अंकों को जोड़िये (∑x) और इस योग को अंकों की संख्या (N) से विभाजित कीजिये और माध्य ज्ञात कीजिये।
2. अंकों और माध्य के बीच का अंतर (X - x) ज्ञात कीजिये और विचलन (x) ज्ञात कीजिये।
3. x² प्राप्त करने के लिए सभी विचलन का वर्ग कीजिये।
4. \(\sum x^2\) प्राप्त करने के लिए सभी वर्ग किये गए विचलन को जोड़िये
5. \(\sum x^2\) को N से विभाजित कीजिये।
6. प्राप्त मानों का वर्गमूल ज्ञात कीजिये।

अवधारणा :

माध्यों के बीच अंतर की मानक त्रुटि का सूत्र

S_{X1 - X2} = \(\sqrt{{s_1^2\over n_1}+{s_2^2\over n_2}}\)

जहाँ, \(s_1^2\) पहले समूह के लिए विचरण है। 

n₁ पहले समूह में लोगों की संख्या है।

\(s_2^2\) दूसरे समूह के लिए विचरण है। 

n2 दूसरे समूह में लोगों की संख्या है।

साथ ही,

t-सांख्यिकी = (दोनों समूहों के बीच माध्य अंतर)/(माध्यों के बीच अंतर की मानक त्रुटि)

व्याख्या:

दिया गया है:

माध्यों के बीच अंतर की मानक त्रुटि

SX1 - X2 = \(\sqrt{{s_1^2\over n_1}+{s_2^2\over n_2}}\) = \(\sqrt{{100\over 8}+{144\over 10}}\) = \(\sqrt{12.5+14.4}\) = \(\sqrt{26.9}\)

G = अतः t-सांख्यिकी = (दोनों समूहों के बीच माध्य अंतर)/(माध्यों के बीच अंतर की मानक त्रुटि)

                               = \(199-191\over \sqrt{26.9}\) = 1.54

विकल्प (1) सत्य है।

  आरोही क्रम 1, 4, 9, 9, X, 14, 15, 15

 सूत्र :

माध्यिका= दो बीच के अवलोकनों का योग /2  [अवलोकनों की सम संख्याओं की स्थिति में]

आकलन

11 = (9 + x)/2

⇒ 22 – 9 = x

⇒ x = 13

 दिया गया है:

प्रयुक्त सूत्र:

 माध्य = \(\Sigma fixi \over \Sigma fi\)

जहां fi = विशेष मान की बारंबारता

xi = आवृत्ति वर्ग का मध्य मान

गणना:

  माध्य = \(1670 \over 50\) = 33.4 

∴ दी गई बारंबारता बंटन सारणी का माध्य 33.4 है।

दिया गया है:

पाँच संख्याएं 42, 24, 32, 64, 68

अवधारणा:

प्रसरण की अवधारणा

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य= योग/कुल

प्रसरण (σ²) = ∑δ²/n

गणना:

माध्य = (42 + 24 + 32 + 64 + 68)/5 = 230/5 = 46

∑δ2 = |42 - 46|2 + |24 - 46|2 + |32 - 46|2 + |64 - 46|2 + |68 - 46|2

⇒ 16 + 484 + 196 + 324 + 484

⇒ 1504

प्रसरण (σ²) = ∑δ²/n

⇒ 1504/5

= 300.8

दिया गया है:

दिए गए प्रेक्षण: 3, 8, 4, 5, 9, 13

प्रयुक्त अवधारणा:

मानक विचलन = \(\sigma = \sqrt {\frac{\sum x^2_i}{n}-{(\frac{\sum x_i}{n})}^2} \)

गणना:

n = 6

\(\sum \frac{x_i}{n} = \frac {3 + 8 + 4 + 5 + 9 + 13}{6} \) = 7

\(\frac{\sum x^2_i}{n} = \frac {3^2 + 8^2 + 4^2 + 5^2 + 9^2 + 13^2}{6} \) = 60.66

अब, मानक विचलन होगा:

\(\sqrt {{60.66} -7^2 } \)

\(3.41\)

सही उत्तर 100 है।

Key Points

• विचरण, मानक विचलन का वर्ग होता है।
• यहाँ जनसंख्या का मानक विचलन 10 है।
• इसलिए, जनसंख्या विचरण = 10² = 100.

दिया गया है:

a, b और c का मानक विचलन t है

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि संख्याओं के किसी समुच्चय का मानक विचलन A है 

और हम प्रत्येक पद के लिए समान मान गणितीय संक्रिया कर रहे हैं, तब मानक विचलन समान रहेगा।

गणना:

यहाँ a, b और c का मानक विचलन t है

और हम प्रत्येक पद में 6 जोड़ रहे हैं

अवधारणा के अनुसार, हमारे पास है

a + 6, b + 6 और c + 6 का मानक विचलन t है।

∴ अभीष्ट मानक विचलन t है।

दिया है:

आँकड़े: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

अवधारणा:

माध्य: यह दिए गए अवलोकन का औसत है। माना x1, x2, …, xn n प्रेक्षण हैं, तब

माध्य = \({\rm{\bar X}} \) \(\dfrac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{\rm{n}} {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}}\)

माध्य विचलन: मान लीजिए x1, x2, …, xn n प्रेक्षण हैं, तब:

\(\dfrac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{\rm{n}} \left| {{{\rm{x}}_{\rm{i}}} - {\rm{\bar x}}} \right|}}{{\rm{n}}}\)

गणना:

\(\sum \overline{x} \) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 210

माध्य \({\rm{\bar X}} = \frac{{210}}{20}\) = 10.5

⇒ X̅ = 10.5

\( \dfrac{{\mathop \sum \nolimits_{\rm{i}}^{\rm{n}} \left| {{{\rm{X}}_{\rm{i}}} - {\rm{\bar X}}} \right|}}{{\rm{n}}}\)

\({{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i}} = 1}^{\rm{n}} \left| {{{\rm{x}}_{\rm{i}}} - {\rm{\bar x}}} \right|}}\) = 8.5 + 6.5 + 4.5 + 2.5 + 0.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 + 7.5 + 9.5 + 9.5 + 7.5 + 5.5 + 3.5 + 1.5 + 0.5 + 2.5 + 4.5 + 6.5 + 8.5 = 100

⇒ \(\dfrac{{100}}{20}\) = 5

दिया है: 

प्रयुक्त अवधारणा:

अंकगणित माध्य = ∑(f_i x_i )/n

गणना:

अंकगणितीय माध्य = \(\frac{0\times 3+1\times 2+ 2 \times 2+3\times 4+ 4 \times 6+ 5\times 7+ 6\times 7+ 7\times5+8\times 3+ 9\times 4+ 10\times 2}{3+2+2+4+6+7+7+5+3+4+2}\)

अंकगणितीय माध्य = \(\frac{234}{45}=5.2\)

∴ दिए गए आँकड़ों का अंकगणितीय माध्य 5.2 है।

दिया गया​ है:

संख्या: 70, 55, 52, 85, 68, 67, 79

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य = सभी प्रेक्षणों का योगफल / सभी प्रेक्षणों की कुल संख्या

'n' प्रेक्षण हैं।

यदि n विषम है, तो माध्यक {(n + 1)/2}वाँ पद है।

यदि n सम है, तो माध्य (n/2)वें पद और {(n/2) + 1}वें पद का औसत है।

गणना:

माध्य = \(\dfrac{70 + 55 + 52 + 85+ 68 + 67+ 79}{7}\)

⇒ \(\dfrac{476}{7}\) = 68

सभी प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

52, 55, 67, 68, 70, 79, 85

n = 7

तो, माध्यक = {(7 + 1)/2}वाँ पद

⇒ 4था पद = 68

माध्यक = 68

उनके माध्य और माध्यक के बीच का अंतर = 68 - 68 = 0

∴ उनके माध्य और माध्यक के बीच का अंतर 0 है।

मानक विचलन: मानक विचलन परिवर्तनशीलता की सबसे स्थिर माप है। इसलिए अनुसंधान अध्ययनों में इसका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

अवर्गीकृत डेटा के लिए मानक विचलन की गणना

• अवर्गीकृत डेटा के लिए मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जा सकती है।
• सूत्र: SD= \(\sqrt{\frac{({\sum X - \bar{X}})^2}{N}}\)

उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है।

माध्य= ∑X/N = 480/8 = 60

मानक विचलन की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करके, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है

SD= √(∑x2 ) /N

यहाँ ∑x2 =382 N = 8 SD= √ 382/8 = √ 47.7 = 6.91

इस प्रकार इस डेटा के लिए मानक विचलन 6.91 है।

Additional Information

अवर्गीकृत डेटा के लिए चरण

1. सभी स्कोर जोड़ें (∑x) और इस राशि को स्कोर (N) से विभाजित करें और माध्य ज्ञात करें।
2. स्कोर और माध्य (X-x) के बीच अंतर का ज्ञात करें और विचलन (x) का ज्ञात करें।
3. x² प्राप्त करने के लिए सभी विचलन का वर्ग करें।
4. ∑x2 प्राप्त करने के लिए सभी विचलन के वर्ग जोड़ें।
5. ∑x² को N से विभाजित करें।
6. प्राप्त मूल्यों का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सही विकल्प 3 है।