Taylor's Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Taylor's Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

sin x और cos x के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार क्रमशः निम्न हैं:

\(\sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

गणना:

For option (1)

f(0) =e0 ⋅ cos θ = 1

⇒ f’(x) = ex (- sin x) + cos x ⋅ ex

⇒ f’(x) = f(x) - ex ⋅ sin x

⇒ f’’(x) = f’(x) - ex ⋅ x - ex sin x

⇒ f''(x) = f'(x) - f(x) - ex sin x

⇒ f'''(x) = f''(x) - f'(x) - ex cos x - ex sin x

⇒ f'''(x) = f''(x) - f'(x) - f(x) - ex sin x

Now,

f’(0) = 1 - 0 = 1

f’’(0) = f’(0) - e0 (1) - 0 = 1 - 1 = 0

f’’’(0) = f’’(0) f’(0) - 1 - 0

= 1 - 1 - 1 = -2

Taylor series expansion at x = 0 is

\(f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x\;f'\left( 0 \right) + \frac{{{x^2}}}{{2!}}f''\left( 0 \right) + \frac{{{x^3}}}{{3!}}f'''\left( 0 \right)\)

संकल्पना:

(1 + x)^-1 का टेलर का श्रेणी विस्तार निम्न प्रकार दिया जाता है

(1 + x)^-1 = 1 – x + x² – x³ + …

गणना:

दिया गया सम्मिश्र फलन (z – 1)/(z + 1) है;

बिंदु z = 1 के परित: विस्तार करने के लिए, मान लीजिये कि t = z - 1;

अब फलन निम्न होगा

\(f\left( z \right) = \frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{t}{{t + 2}} = 1 - \frac{1}{{\frac{t}{2} + 1}} = 1 - {\left( {1 + \frac{t}{2}} \right)^{ - 1}}\)

मानक टेलर की श्रेणी के विस्तार का उपयोग करने पर,

\(f\left( z \right) = 1 - \left[ {1 - \frac{t}{2} + \frac{{{t^2}}}{{{2^2}}} - \frac{{{t^3}}}{{{2^3}}} + \ldots } \right]\)

\( \Rightarrow f\left( z \right) = \frac{t}{2} - \frac{{{t^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{t^3}}}{{{2^3}}} - \ldots \)

विस्तार में तीसरा पद \(\frac{{{t^3}}}{8} = \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^3}}}{8}\) है

स्पष्टीकरण:

मैकलॉरियन शृंखला, f(0)+xf'(0)+(x²/2!)f''(0)+ _______ है। 

मूल विचार यह है कि किसी फलन को बहुपद के रूप में व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए क्योंकि बहुपद को हल करना आसान होता है।

कभी-कभी मैकलॉरिन शृंखला समाकलन या अवकलन जैसी जटिल संक्रियाएँ आसान बना सकती है।

कभी-कभी मैकलॉरिन शृंखला का उपयोग समानता स्थापित करने के लिए साइन, कोसाइन और घातांक को एक ही "रूप" में जोड़कर उस e(ix)=cos(x)+isin(x)) को सिद्ध करने जैसी चीजों के लिए किया जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग संख्यात्मक गणना है। 

स्पष्टीकरण:

टेलर श्रेणी एक फलन का एक ही बिंदु पर उसके अवकलज के मानों से गणना किए गए अनंत पदों के रूप में प्रतिनिधित्व करती है। ये श्रेणियाँ लाभप्रद हैं क्योंकि वे बहुपदों का उपयोग करके अधिक सम्मिश्र  फलनों के लिए सन्निकटन प्रदान कर सकती हैं, जिनकी गणना करना आसान है।

बिंदु 'a' के परित: द्वितीय कोटि के टेलर का बहुपद इस बिंदु 'a' के निकट एक मूल फलन f(x) का एक सन्निकटन है। इस बहुपद में केवल फलन का मान और बिंदु 'a' पर पहले दो अवकलज शामिल होते हैं।

यह सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है:

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)²

विकल्प 1:

f(a) + f'(a) (x - a)³ यह सही नहीं है। पद (x - a) का वर्ग होना चाहिए, घन नहीं। साथ ही, इसमें दूसरा अवकलज पद लुप्त है।

विकल्प 2:

f(a) + f'(a) (x - a) + (1/2)f''(a) (x - a)² यह द्वितीय कोटि के टेलर के बहुपद का सही रूप है। यह 'a' पर फलन के मान का प्रतिनिधित्व करता है। यह f(x) के लिए एक सन्निकटन देता है, विशेष रूप से 'a' के निकट।

विकल्प 3:

f(a) + f'(a) (x - a)² यह सही नहीं है। पहले अवकलज पद को (x-a) से गुणा किया जाना चाहिए, न कि (x-a)² से और इसमें दूसरा अवकलज पद लुप्त है।

विकल्प 4:

f(a) + f'(a) (x - a) + (1/2)f''(a) (x - a)³ यह सही नहीं है। दूसरे अवकलज पद को (x - a)² से गुणा किया जाना चाहिए, न कि (x - a)³ से।

अतः विकल्प 2 द्वितीय कोटि के टेलर के बहुपद का सही रूप है।

स्पष्टीकरण​:

Sin (x) के लिए मैकलॉरिन शृंखला का विस्तार (-1)n ×  x(2n+1)/(2n+1)! के n = 0 से अनंत तक के योग द्वारा दिया गया है।  

Sinx का विस्तार =  x -x3/3! + x5/5! -............

इसलिए, Sinx के विस्तार में x की सभी विषम घातें शामिल हैं।

अतः सही विकल्प 4 है।

स्पष्टीकरण:

टेलर श्रृंखला:

यदि f(z) एक वृत्त 'C' के अंदर विश्लेषणात्मक है, z = a पर केंद्र और त्रिज्या 'r' है, तो 'C' के अंदर सभी z के लिए; टेलर श्रृंखला इसके द्वारा दी जाती है-

\(f(z)=f(a)\;+\;(z-a)f'(a)\;+\;\frac{(z-a)^2}{2!}f''(a)\;+\;........\frac{(z-a)^n}{n!}f^n(a)\)

\(\therefore f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^n}{n!}f^n(a)\)

\(\therefore \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\) जहां \(a_n=\frac{f^n(a)}{n!}\)

लॉरेंट श्रृंखला:

अगर f(z) रिंग के आकार के क्षेत्र 'R' की सीमा के अंदर और उस पर हर बिंदु पर विश्लेषणात्मक है दो जो 'a' पर केंद्र और क्रमशः त्रिज्या r1 और r2 (r1 > r2) वाले संकेंद्रित वृत्त C₁ और C₂ से घिरा है तो

\(f(z)= a_0\;+\;a_1(z-a)\;+\;a_2(z-a)^2\;+\;.....\;+\;a_n(z-a)^n\;+\;a_{-1}(z-a)^{-1}\;+\;a_{-2}(z-a)^{-2}\;+\;....\;+\;a_{-n}(z-a)^{-n}\)

\(\therefore \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\;+\;\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}\)

\(\therefore \sum_{-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n\;where\;a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz\)

लॉरेंट की श्रृंखला के ऋणात्मक भाग यानी \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}\) को विलक्षण भाग कहा जाता है और यदि वह गायब होता है तो जो पद रहते हैं वे \( \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\) होंगे, जो टेलर श्रृंखला के अलावा और कुछ नहीं है।

Important Points

मैकलॉरिन की श्रृंखला:

जब टेलर की श्रृंखला में अर्थात मूल या z के घातों के ओर a = 0 तो गठित श्रृंखला मैकलेरिन की श्रृंखला है ।

\(f(z)=f(0)\;+\;(z)f'(0)\;+\;\frac{(z)^2}{2!}f''(0)\;+\;........\frac{(z)^n}{n!}f^n(0)\)

कॉची की प्रमेय:

यदि f(z) एकल-मूल्यवान है और z का एक विश्लेषणात्मक फलन है और f'(z) बंद वक्र c पर और उसके भीतर प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है तो प्रमेय के अनुसार, \(\mathop \oint \limits_C f\left( z \right)dz = 0\) ।

संकल्पना:

sin x और cos x के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार क्रमशः निम्न हैं:

\(\sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

गणना:

\(3\sin x = 3x - \frac{{3{x^3}}}{{3!}} + \frac{{3{x^5}}}{{5!}} + \ldots \)

\(3\sin x = 3x - \frac{{{x^3}}}{{2!}} + \frac{{{x^5}}}{{40}} - \ldots \)          ---(1)

उसीप्रकार,

\(2\cos x = 2 - \frac{{2{x^2}}}{{2!}} + \frac{{2{x^4}}}{{4!}} - \frac{{2{x^6}}}{{6!}} + \ldots \)

 \(2\cos x = 2 - {x^2} + \frac{{{x^4}}}{{12}} - \ldots \)        ---(2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(3\sin x + \cos x = 2 + 3x - {x^2} - \frac{{{x^3}}}{2} + \ldots \)

संकल्पना:

टेलर श्रेणी विधि:

टेलर श्रेणी का उपयोग प्रत्येक बिंदु पर एक संपूर्ण फलन के मान की गणना करने के लिए किया जा सकता है, यदि फलन का मान और उसके सभी अवकलज एक ही बिंदु पर जाने जाते हैं।

f (x + h) के लिए टेलर श्रेणी का प्रसार निम्न है

\(f\left( {x + h} \right) = f\left( x \right) + hf'\left( x \right) + \frac{{{h^2}}}{{2!}}f''\left( x \right) + \frac{{{h^3}}}{{3!}} + f'''\left( x \right) + \ldots \infty \)

\(f(x)=f(a)\;+\;(x-a)f'(x)\;+\;\frac{(x-a)^2}{2!}f''(x)\;+\;........\infty\)

गणना:

दिया गया है:

\(f\left( x \right) = \frac{{\sin \left( x \right)}}{{x - 54}}\)

f(100)(54) = ?

 a = 54 पर, Sin x के लिए टेलर श्रेणी के प्रसार का उपयोग करने पर 

\(f(x)=f(a)\;+\;(x-a)f'(x)\;+\;\frac{(x-a)^2}{2!}f''(x)\;+\;........\infty\)

\(\sin x~=~\sin (54)~+~\frac{(x~-~54)~\times~\cos (54)}{1!}~-~\frac{(x~-~54)^2~\times~\cos (54)}{2!}~-~.............\infty\)

अब फलन निम्न में बदल जाता है:

f(x) = \(\frac{\sin (54)}{x~-~54}~+~\frac{\cos (54)}{1!}~-~\frac{(x~-~54)~\times~\cos (54)}{2!}~-~.............\infty\)

उपरोक्त अनंत श्रेणी के पहले पद का ध्यानपूर्वक अवलोकन करने पर, (x - 54) पद हमेशा हर में होता है, जो x = 54 रखने पर शून्य हो जाएगा।

प्रत्येक अवकलज का भी अनंत तक समान पद होगा।

अत: x = 54 रखने पर प्रत्येक पद के हर में शून्य होगा।

⇒ f(100)(54) अपरिभाषित है। 

संकल्पना:

sin x और cos x के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार क्रमशः निम्न हैं:

\(\sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

गणना:

For option (1)

f(0) =e0 ⋅ cos θ = 1

⇒ f’(x) = ex (- sin x) + cos x ⋅ ex

⇒ f’(x) = f(x) - ex ⋅ sin x

⇒ f’’(x) = f’(x) - ex ⋅ x - ex sin x

⇒ f''(x) = f'(x) - f(x) - ex sin x

⇒ f'''(x) = f''(x) - f'(x) - ex cos x - ex sin x

⇒ f'''(x) = f''(x) - f'(x) - f(x) - ex sin x

Now,

f’(0) = 1 - 0 = 1

f’’(0) = f’(0) - e0 (1) - 0 = 1 - 1 = 0

f’’’(0) = f’’(0) f’(0) - 1 - 0

= 1 - 1 - 1 = -2

Taylor series expansion at x = 0 is

\(f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x\;f'\left( 0 \right) + \frac{{{x^2}}}{{2!}}f''\left( 0 \right) + \frac{{{x^3}}}{{3!}}f'''\left( 0 \right)\)

संकल्पना:

हमारे पास \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{{\rm{sin\;x}}}}{{{\rm{x}} - {\rm{\pi }}}}\) हैं। 

\({\rm{x}} - {\rm{\pi }} = {\rm{y}},\) रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\begin{array}{l} {\rm{f}}\left( {{\rm{y}} + {\rm{\pi }}} \right) = \frac{{\sin \left( {{\rm{y}} + {\rm{\pi }}} \right)}}{{\rm{y}}} = - \frac{{{\rm{siny}}}}{{\rm{y}}} = \frac{{ - 1}}{{\rm{y}}}\left( {\sin {\rm{y}}} \right)\\ = - \frac{1}{{\rm{y}}}\left( {{\rm{y}} - \frac{{{{\rm{y}}^3}}}{{3!}} + \frac{{{{\rm{y}}^5}}}{{5!}} - \ldots } \right)\\ {\rm{f}}\left( {{\rm{y}} + {\rm{\pi }}} \right) = - 1 + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{3!}} - \frac{{{{\rm{y}}^4}}}{{5!}} + \ldots \end{array}\)

\({\rm{x}} - {\rm{\pi }} = {\rm{y}}\) रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = - 1 + \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{\pi }}} \right)}^2}}}{{3!}} - \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{\pi }}} \right)}^4}}}{{5!}} + \ldots \)

संकल्पना:

(1 + x)^-1 का टेलर का श्रेणी विस्तार निम्न प्रकार दिया जाता है

(1 + x)^-1 = 1 – x + x² – x³ + …

गणना:

दिया गया सम्मिश्र फलन (z – 1)/(z + 1) है;

बिंदु z = 1 के परित: विस्तार करने के लिए, मान लीजिये कि t = z - 1;

अब फलन निम्न होगा

\(f\left( z \right) = \frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{t}{{t + 2}} = 1 - \frac{1}{{\frac{t}{2} + 1}} = 1 - {\left( {1 + \frac{t}{2}} \right)^{ - 1}}\)

मानक टेलर की श्रेणी के विस्तार का उपयोग करने पर,

\(f\left( z \right) = 1 - \left[ {1 - \frac{t}{2} + \frac{{{t^2}}}{{{2^2}}} - \frac{{{t^3}}}{{{2^3}}} + \ldots } \right]\)

\( \Rightarrow f\left( z \right) = \frac{t}{2} - \frac{{{t^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{t^3}}}{{{2^3}}} - \ldots \)

विस्तार में तीसरा पद \(\frac{{{t^3}}}{8} = \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^3}}}{8}\) है

स्पष्टीकरण:

टेलर श्रृंखला:

यदि f(z) एक वृत्त 'C' के अंदर विश्लेषणात्मक है, z = a पर केंद्र और त्रिज्या 'r' है, तो 'C' के अंदर सभी z के लिए; टेलर श्रृंखला इसके द्वारा दी जाती है-

\(f(z)=f(a)\;+\;(z-a)f'(a)\;+\;\frac{(z-a)^2}{2!}f''(a)\;+\;........\frac{(z-a)^n}{n!}f^n(a)\)

\(\therefore f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^n}{n!}f^n(a)\)

\(\therefore \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\) जहां \(a_n=\frac{f^n(a)}{n!}\)

लॉरेंट श्रृंखला:

अगर f(z) रिंग के आकार के क्षेत्र 'R' की सीमा के अंदर और उस पर हर बिंदु पर विश्लेषणात्मक है दो जो 'a' पर केंद्र और क्रमशः त्रिज्या r1 और r2 (r1 > r2) वाले संकेंद्रित वृत्त C₁ और C₂ से घिरा है तो

\(f(z)= a_0\;+\;a_1(z-a)\;+\;a_2(z-a)^2\;+\;.....\;+\;a_n(z-a)^n\;+\;a_{-1}(z-a)^{-1}\;+\;a_{-2}(z-a)^{-2}\;+\;....\;+\;a_{-n}(z-a)^{-n}\)

\(\therefore \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\;+\;\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}\)

\(\therefore \sum_{-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n\;where\;a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz\)

लॉरेंट की श्रृंखला के ऋणात्मक भाग यानी \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}\) को विलक्षण भाग कहा जाता है और यदि वह गायब होता है तो जो पद रहते हैं वे \( \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\) होंगे, जो टेलर श्रृंखला के अलावा और कुछ नहीं है।

Important Points

मैकलॉरिन की श्रृंखला:

जब टेलर की श्रृंखला में अर्थात मूल या z के घातों के ओर a = 0 तो गठित श्रृंखला मैकलेरिन की श्रृंखला है ।

\(f(z)=f(0)\;+\;(z)f'(0)\;+\;\frac{(z)^2}{2!}f''(0)\;+\;........\frac{(z)^n}{n!}f^n(0)\)

कॉची की प्रमेय:

यदि f(z) एकल-मूल्यवान है और z का एक विश्लेषणात्मक फलन है और f'(z) बंद वक्र c पर और उसके भीतर प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है तो प्रमेय के अनुसार, \(\mathop \oint \limits_C f\left( z \right)dz = 0\) ।

अवधारणा :

टेलर श्रृंखला:

यदि f(z) एक वृत्त 'C' के अंदर विश्लेषणात्मक है, z = a पर केंद्र और त्रिज्या 'r' है, तो 'C' के अंदर सभी z के लिए टेलर श्रृंखला इसके द्वारा दी जाती है-

\(f(z)=f(a)\;+\;(z-a)f'(a)\;+\;\frac{(z-a)^2}{2!}f''(a)\;+\;........\frac{(z-a)^n}{n!}f^n(a)\)

\(∴ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^n}{n!}f^n(a)\)

\(∴ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\) जहां \(a_n=\frac{f^n(a)}{n!}\)

गणना:

दिया हुआ:

बिंदु z = 1 पर \(\rm f\left( z \right) = \frac{1}{{z\;+\;3}}\)।

यदि f(z) z = a पर विश्लेषणात्मक है तो टेलर श्रृंखला का विस्तार (z - a) का होगा

बिंदु z = 1 पर टेलर श्रृंखला का विस्तार (z - 1) का होगा।

माना कि t = z - 1, ∴ z = t + 1

\(\rm ∴ f\left( z \right) = \frac{1}{{z\;+\;3}} = \frac{1}{{(t\;+\;1)\;+\;3}} = \frac{1}{{t\;+\;4}} = \frac{1}{{4\left( {1 + \frac{t}{4}} \right)}} = \frac{1}{4}{\left( {1 + \frac{t}{4}} \right)^{ - 1}}\)

हम जानते हैं कि \(\rm (1\;+\;x)^{-1}=1\;-\;x\;+\;x^2\;-\;x^3\;+\;x^4\;-\;.......\)

\(\therefore \frac{1}{4}\left[ {1 - \frac{t}{4} + {{\left( {\frac{t}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{t}{4}} \right)}^3}.....} \right]\)

t = z - 1 को प्रतिस्थापित करकर

\(f\left( z \right) = \frac{1}{4}\left[ {1 - \left( {\frac{{z \;- \;1}}{4}} \right) + \left( {\frac{{z\;-\;1}}{4}} \right)^2 - {{\left( {\frac{{z\; -\; 1}}{4}} \right)}^3}.....} \right]\)

संकल्पना:

sin x और cos x के लिए टेलर श्रेणी प्रसार क्रमशः निम्न हैं:

\(\sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + \ldots - \infty < x < \infty \)

विश्लेषण:

मान लीजिये कि x – 2 = t

x = t + 2

sin x = sin (t + 2) = sin t cos 2 + cos t sin 2

\(= \left( {t - \frac{{{t^3}}}{{3!}} + \frac{{{t^5}}}{{5!}} - \frac{{{t^7}}}{{7!}} + \ldots } \right)\cos 2 + \left( {1 - \frac{{{t^2}}}{{2!}} + \frac{{{t^4}}}{{4!}} - \frac{{{t^6}}}{{6!}} + \ldots } \right)\sin 2\)

\(= \left[ {\left( {x - 2} \right) - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{{3!}} + \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}{{5!}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^7}}}{{7!}} + \ldots } \right]\cos 2 + \left( {1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{2!}} + \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}{{4!}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^6}}}{{6!}} + \ldots } \right)\sin 2\)

(x – 2)⁴ का गुणांक \(\frac{{\sin 2}}{{4!}}\) है।

संकल्पना:

टेलर श्रृंखला:

यदि f(x) एक वृत्त 'C' के अंदर विश्लेषणात्मक है, x = a पर केंद्र और त्रिज्या 'r' है तो 'C' के अंदर सभी x के लिए; टेलर श्रृंखला इसके द्वारा दी गई है-

\(f(x)=f(a)\;+\;(x-a)f'(x)\;+\;\frac{(x-a)^2}{2!}f''(x)\;+\;........\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(x)\)

\(∴ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\;-\;a)^n}{n!}f^n(x)\)

\(∴ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\) जहाँ \(a_n=\frac{f^n(a)}{n!}\) (x - a)n का गुणांक है

गणना:

दिया हुआ:

f(x) = ex + sin x

∴ f’(x) = ex + cos x

∴ f’’(x) = ex – sin x

f’’(π) = eπ – sin π = eπ

x = π के ओर f(x) का टेलर श्रृंखला विस्तार इसके द्वारा दिया गया है

\(f\left( x \right) = f\left( \pi \right) + \left( {x - \pi } \right)f'\left( \pi \right) + \frac{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}{{2!}}f''\left( \pi \right) + \ldots \)

\(∴ {\rm{\;The\;coefficient\;of\;}}{\left( {x - \pi } \right)^2} = \frac{{f''\left( \pi \right)}}{2} = \frac{{{e^\pi }}}{2}\)