नित्यसमानता MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Identities - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

\(\dfrac{(2.46 \times 2.46-1.46 \times 1.46)}{(2.46-1.46)}\)

वापरलेले सूत्र:

\((a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)\)

गणना:

⇒ \(\dfrac{(2.46 + 1.46)(2.46 - 1.46)}{(2.46-1.46)}\)

⇒ \(\dfrac{(2.46^2 - 1.46^2)}{(2.46-1.46)}\)

⇒ \((2.46 + 1.46)\)

⇒ 3.92

⇒ \(\dfrac{392}{100}\)

∴ पर्याय (2) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

\((x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})(x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^4+\dfrac{1}{x^4}) \) चे मूल्य काढा:

वापरलेले सूत्र:

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

गणना:

\((x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})\) = \((x^2 - \dfrac{1}{x^2})\)

⇒ \((x^2 - \dfrac{1}{x^2})(x^2 + \dfrac{1}{x^2})\) = \((x^4 - \dfrac{1}{x^4})\)

⇒ \((x^4 - \dfrac{1}{x^4})(x^4 + \dfrac{1}{x^4})\) = \((x^8 - \dfrac{1}{x^8})\)

अशाप्रकारे, \(\rm \left(x+\frac{1}{x}\right)\rm \left(x-\frac{1}{x}\right)\rm \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\rm \left(x^4+\frac{1}{x^4}\right) \) = \((x^8 - \dfrac{1}{x^8})\)

∴ पर्याय (2) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

सरळरूप द्यावयाचे समीकरण: 9993 × 10007 

वापरलेले सूत्र:

(a - b)(a + b) = a² - b² हे बीजगणितीय समीकरण वापरून

गणना:

येथे, a = 10000 आणि b = 7

⇒ 9993 × 10007 = (10000 - 7) × (10000 + 7)

⇒ 9993 × 10007 = 100002 - 72

⇒ 9993 × 10007 = 100000000 - 49

⇒ 9993 × 10007 = 99999951

पर्याय 1 योग्य आहे.

दिलेले आहे:

(10001 + 12) (10001 - 12)

वापरलेले सूत्र:

((a + b)(a - b) = a² - b²)

गणना:

येथे, a = 10001 आणि b = 12

सूत्र वापरून:

((10001 + 12)(10001 - 12) = 10001² - 12²)

⇒ 10001² - 12²

⇒ 100020001 - 144

⇒ 100019857

(10001 + 12)(10001 - 12) चे मूल्य 100019857 आहे.

दिलेले आहे:

x + (1/x) = 6

वापरलेले सूत्र:

(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²

गणना:

(x + 1/x)² = 6²

⇒ x² + 2 + 1/x² = 36

⇒ x² + 1/x² = 36 - 2

⇒ x² + 1/x² = 34

∴ पर्याय (2) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

x - 1/x = 3

वापरलेली संकल्पना:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

सारखेपणा लागू करूया:
  
⇒ x³ - (1/x)³ = (x - 1/x)³ + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x³ - (1/x)³ = (3)³ + 3(1)(3)

⇒ x³ - (1/x)³ = 27 + 9

⇒ x³ - (1/x)³ = 36

∴  x³ - (1/x)³ चे मूल्य 36 आहे.

दिलेले आहे:

x = √10 + 3

वापरलेले सूत्र:

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ आवश्यक मूल्य 234 आहे

दिलेले आहे:

x - (1/x) = (- 6)

वापरलेले सूत्र:

जर x - (1/x) = P, तर

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

जर x + (1/x) = P, तर

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

गणना:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

अशाप्रकारे, x2 - 1/x2 = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

आणि x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

आता,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ योग्य उत्तर - 8886 आहे.

दिल्याप्रमाणे:

p – 1/p = √7

सुत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

चतूर पद्धत

x - 1/x = a, then x³ - 1/x³ = a³ + 3a

येथे, a = √5

म्हणून,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.

दिलेले आहे:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 आणि abc = 15

वापरलेली संकल्पना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

दिलेली माहिती:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

वापरलेले सूत्र:

(a + 1/a) = P ; तर

(a2 + 1/a2) = P2 - 2

(a3 + 1/a3) = P3 - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

गणना:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

∴ योग्य उत्तर 15127 आहे.

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 or x = 1

जेव्हा a + b + c = 0, तेव्हा  (a3 + b3 + c3) = 3abc,

दिलेल्याप्रमाणे:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

वापरलेले सूत्र:

a² + b² + c² - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

गणना:

a + b + c = 19

दोन्ही बाजूचे वर्ग केल्यावर

⇒ (a + b + c)² = (19)²

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

आता,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ योग्य उत्तर 104 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

x2 + (1/x2) = 7

वापरलेले सूत्र:

x² + (1/x²) = P

तर x + (1/x) = √(P + 2)

आणि x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

गणना:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ योग्य उत्तर - 3√5 आहे.​
 Mistake Point

कृपया याची नोंद घ्यावी

0 < x < 1

म्हणून,

1/x > 1

म्हणून,

x + 1/x > 1

आणि

x - 1/x < 0 (कारण 0 < x < 1 आणि 1/x > 1 म्हणून, x - 1/x < 0)

म्हणून,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0