बहुपदी MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Polynomials - मोफत PDF डाउनलोड करा

संकल्पना:

सदर प्रश्न बहुपदी भागाकार आणि भाजकाच्या अवयवांच्या संकल्पनेचा वापर करतो.

दिलेली बहुपदी \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य असल्याची खात्री करून, आपण a आणि b ची मूल्ये, जेणेकरून f(1) = 0 आणि f(-1) = 0, या अटीपासून मिळालेल्या समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण करून शोधू शकतो.

गणना:

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\)

ही पदावली \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य आहे.

दिलेला भाजक \(x^2 - 1\), याचे पुढीलप्रमाणे अवयव पाडले जाऊ शकतात:

\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)

आपण \(a\) आणि b ची अशी मूल्ये शोधत आहोत, जेणेकरून बहुपदी 

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) ही \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य असेल. याचा अर्थ असा की, दिलेल्या बहुपदीस \( x^2 - 1 \) ने भाग दिल्यास बाकी 0 मिळाली पाहिजे.

आपण हे तथ्य वापरू शकतो की, जर एखादी बहुपदी f(x) ही \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य असेल, तर

संबंधित बहुपदीमध्ये f(1) = 0 आणि f(-1) = 0 असले पाहिजे.

f(1) आणि f(-1) ची गणना करू

समजा, f(x) = \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\).

f(1) = 0 साठी:

\(f(1) = 1^4 + 1^3 + 8(1^2) + a(1) + b = 1 + 1 + 8 + a + b = 10 + a + b\)

अशाप्रकारे, \(10 + a + b = 0\)

⇒ \(a + b = -10 \quad\) (समीकरण 1)

f(-1) = 0 साठी:

\(f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 8(-1)^2 + a(-1) + b = 1 - 1 + 8 - a + b = 8 - a + b\)

अशाप्रकारे, \(8 - a + b = 0\)

⇒ \(-a + b = -8 \quad \) (समीकरण 2)

सोडवण्यासाठी, दोन्ही समीकरणांची बेरीज करूया:

\((a + b) + (-a + b) = -10 + (-8)\)

⇒ \(2b = -18\)

⇒ \(b = -9\)

समीकरण 1 मध्ये, b = -9 ठेवू

\(a + (-9) = -10\)

⇒ \(a = -1\)

म्हणून, पर्याय 4 योग्य आहे.

दिलेले आहे:

बहुपदी: x² - 9x + 18

वापरलेले सूत्र:

द्विघाती बहुपदीचे अवयवीकरण: ax² + bx + c = (x - p)(x - q)

गणना:

आपल्याला x² - 9x + 18 चे अवयव काढायचे आहेत.

⇒ (x - 3)(x - 6)

पडताळणीसाठी, आपण (x - 3)(x - 6) चा विस्तार करू:

⇒ x² - 6x - 3x + 18

⇒ x² - 9x + 18

(x - 3) आणि (x - 6) हे अवयव आहेत.

पर्याय 2 योग्य आहे.

संकल्पना:

हा प्रश्न बहुपदी भागाकार आणि भाजकाच्या अवयवांच्या संकल्पनेचा वापर करतो.

दिलेली बहुपदी \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य आहे याची खात्री करून, आपण a आणि b चे मूल्य शोधू शकतो जेणेकरून f(1) = 0 आणि f(-1) = 0, या अटीपासून मिळालेल्या समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण करून.

गणना:

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\)

हा \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य आहे.

दिलेला भाजक \(x^2 - 1\) हा खालीलप्रमाणे घटकित केला जाऊ शकतो:

\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)

आपण \(a\) आणि b चे अशी मूल्य शोधत आहोत की बहुपदी 

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) हा \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य आहे. याचा अर्थ असा की ही बहुपदी \( x^2 - 1 \) ने विभाजित केली जाते तेव्हा बाकी 0 असली पाहिजे.

आपण हा तथ्य वापरू शकतो की जर एखादी बहुपदी f(x) हा \( x^2 - 1 \) ने विभाज्य असेल, तर

बहुपदीमध्ये f(1) = 0 आणि f(-1) = 0 असले पाहिजे.

f(1) आणि f(-1) ची गणना करा

f(x) = \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) असे मानूया.

f(1) = 0 साठी:

\(f(1) = 1^4 + 1^3 + 8(1^2) + a(1) + b = 1 + 1 + 8 + a + b = 10 + a + b\)

म्हणून \(10 + a + b = 0\)

⇒ \(a + b = -10 \quad \text{(Equation 1)}\)

f(-1) = 0 साठी:

\(f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 8(-1)^2 + a(-1) + b = 1 - 1 + 8 - a + b = 8 - a + b\)

म्हणून \(8 - a + b = 0\)

⇒ \(-a + b = -8 \quad \text{(Equation 2)}\)

सोडवण्यासाठी, दोन्ही समीकरणांची बेरीज करा:

\((a + b) + (-a + b) = -10 + (-8)\)

⇒ \(2b = -18\)

⇒ \(b = -9\)

समीकरण 1 मध्ये b = -9 ठेवू  

\(a + (-9) = -10\)

⇒ \(a = -1\)

म्हणून, योग्य पर्याय पर्याय 4 आहे.

दिलेले आहे:

x3 - 3x2 + 4x - 75 या बहुपदीमध्ये काय मिळवले पाहिजे, जेणेकरून मिळणारी बहुपदी (x - 5) ने पूर्णपणे विभाज्य असेल?

वापरलेले सूत्र:

जर f(x) ही बहुपदी (x - a) ने पूर्णपणे विभाज्य असेल, तर f(a) = 0 असते.

गणना:

समजा, f(x) = x³ - 3x² + 4x - 75 + k

f(x) ही (x - 5) ने विभाज्य असल्याने, f(5) = 0.

f(5) = 5³ - 3(5)² + 4(5) - 75 + k

⇒ 125 - 75 + 20 - 75 + k = 0

⇒ -5 + k = 0

⇒ k = 5

∴ पर्याय (4) योग्य आहे.

Shortcut Trick

(x5 - 12x4 + 12x3 - 12x2 + 12x - 1)

⇒ (x5 - 11x4 - x4 + 11x3 + x3 - 11x2 - x2 + 11x + x - 1)

⇒ x4(x - 11) - x3(x - 11) + x2(x - 11) - x(x - 11) + (x - 1)

⇒ (x - 11) [x4 - x3 + x2 - x] + (x - 1)

x = 11 ठेवू

⇒ (11 - 11) [x4 - x3 + x2 - x] + (11 - 1)

⇒ 0 × [x4 - x3 + x2 - x] + (11 - 1)

⇒ (11 - 1) = 10

म्हणून, 10 हे योग्य उत्तर आहे.

Alternate Method

दिलेले आहे:

जर x = 11 असेल, तर (x⁵ - 12x⁴ + 12x³ - 12x² + 12x - 1) चे मूल्य काढा.

वापरलेले सूत्र:

बहुपदीमध्ये x = 11 ठेवू.

गणना:

(115 - 12×114 + 12×113 - 12×112 + 12×11 - 1)

⇒ 161051 - 12×14641 + 12×1331 - 12×121 + 12×11 - 1

⇒ 161051 - 175692 + 15972 - 1452 + 132 - 1

⇒ 161051 - 175692 + 15972 - 1452 + 132 - 1

⇒ -14641 + 15972 - 1452 + 132 - 1

⇒ 1331 - 1452 + 132 - 1

⇒ -121 + 132 - 1

⇒ 11 - 1

⇒ 10

∴ पर्याय (4) योग्य आहे.

दिलेले

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5.

संकल्पना

बहुपदीय पद-शून्य गुणांक नसलेल्या त्याच्या वैयक्तिक अटींच्या अंशांपैकी सर्वोच्च अंश आहे.

निरसन

बहुपदीय अंश 2 ^{x 5} मध्ये = 5 

2x³y³ मधील बहुपदीय अंश = 6 

4y⁴ मधील बहुपदीय अंश = 4 

5 मधील बहुपदीय अंश = 0 

म्हणून, सर्वोच्च अंश 6 आहे

∴ बहुपदाचा अंश = 6

संकल्पना:

जर α आणि β हे बहुपदी p(x) चे शून्य असतील तर,

p(α) = 0 आणि p(β) = 0

गणना:

समजा p(x) = (k - 1)x 2 + kx +1 

प्रश्नानुसार, x = -3 हे त्याच्या शून्यांपैकी एक आहे, तर

x = -3 ला p(x) शून्य झाले.

त्यामुळे,

(k - 1)(-3)2 + k(-3) +1 = 0

⇒ 9k - 9 - 3k + 1 = 0

⇒ 6k = 8

⇒ k = 4/3

त्यामुळे पर्याय 2 बरोबर आहे.

Shortcut Tricka² - b² = (a + b) (a - b) सूत्र वापरुया

आपण (x2 + y2 - z2)2 - (x2 - y2 + z2)2 असे लिहू शकतो की

(x2 + y2 - z2 + x2 - y2 + z2) (x2 + y2 - z2 - x2 + y2 - z2)

⇒ 2x2 (2y2 - 2z2)

⇒ 4x2y2 - 4x2z2

Alternate Method 

वापरलेले सूत्र:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

गणना:

समजा a = x², b = -y², c = z²

⇒ (x² + y² - z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2x²y² – 2y²z² – 2z²x²      ----(1)

समजा a = x², b = y², c = -z²

⇒ (x² - y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ – 2x²y² – 2y²z² + 2z²x²      ----(2)

(1) – (2)

⇒ 4x²y² – 4z²x²

∴ आवश्यक उत्तर 4x²y² – 4x²z²  आहे

Alternate Method

समजा x = 1, y = 2 आणि z = -3

आता हे मूल्य (x2 + y2 - z2)2 - (x2 - y2 + z2)2  यात ठेवा 

(1 + 4 - 9)² - (1 - 4 + 9)²

16 - 36 = - 20

आता पर्यायामध्ये  x = 1, y = 2 आणि z = -3 ठेवा 

1)  4x2y2 - 4x2z² = 4(1)(2)² - 4(1)(3)² = 16 - 36 = -20

म्हणून, पर्याय 1 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेले आहे

4x⁴ + 3x³ + 2x² + x + 1

संकल्पना

एक बहुपदीची कोटी गैर शून्य सहगुणकाच्या पदाच्या सर्वात मोठी कोटी आहे.

उपाय

4x4 मधील बहुपदीची कोटी = 4

3x3 मधील बहुपदीची कोटी= 3

2x2 मधील बहुपदीची कोटी= 2

x मधील बहुपदीची कोटी= 1

म्हणूनच, सर्वोच्च मोठी कोटी 4 आहे.

∴ बहुपदीय पदवी = 4

दिलेले आहे:

5x + 3y = 15 आणि 2xy = 6

वापरलेले सूत्र:

(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab

गणना:

(5x - 3y)2 =  (5x + 3y)2 - 4.5x.3y

⇒ 152 - 30 × 2xy

⇒ 225 - 180 = 45

(5x - 3y) = √45

⇒ \(3\sqrt5\)

∴ पर्याय 2 योग्य आहे.

आपल्याला माहीत आहे की, 

x³ + y³ = (x + y)(x² + y² – xy)

आता आपल्याला x³ + y³ = 22 आणि x + y = 5 दिलेले आहे. 

⇒ 22 = 5(x² + y² – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)² − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)² − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

आता  x³ + y³ = 22 ला x + y = 5 ने गुणू

⇒ x⁴ + y⁴ + xy(x² + y²) = 110

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – xy{(x² + y² − 2xy + 2xy)}

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – xy{(x + y)² − 2xy}

xy = 103/15 आणि x + y = 5

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – 103/15{(5)² − 2 × 103/15}

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – 6.87{(25 –  13.73}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87 {(11.27)}

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – 77.42

⇒ x4 + y4 = 32.58

∴ x⁴ + y⁴ चे निकटतम मूल्य 33 असेल.

x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)2 − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)2 − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

(x³ + y³) (x + y) = x⁴ + y⁴ + xy(x² + y²)

(x³ + y³) (x + y)= (x⁴ + y⁴) + {xy[(x + y)² – 2xy)]

⇒ 22 × 5 = x⁴  + y⁴  + 103/15[25 - 206/15]

⇒ x⁴ + y⁴ = 32.63 ≈ 33

वापरलेली संकल्पना:

बाकी प्रमेय:

जेव्हा बहुपदी P(x) ला (x + a) ने भागले जाते, तेव्हा बाकी P(a) द्वारे दिले जाते.

गणना:

समजा p(x) = 5x3 + 5x2 – 6x + 9 

ज्याअर्थी p(x) ला (x + 3) ने भागले जाते, बाकी p(-3) असेल.

⇒ p(-3) = 5 × (-3)3 + 5 × (-3)2 – 6 × (-3) + 9

⇒ p(-3) = -63

संकल्पना:

शेष सिद्धांत: समजा p(x) ही एकापेक्षा जास्त किंवा समान पदवीची कोणतीही बहुपदी आहे आणि 'a' ही एखादी वास्तविक संख्या आहे. जर p(x) ला (x - a) ने विभाजित केले जाते, तर बाकी ही p(a) च्या समान असेल.

गणना:

आपल्याकडे आहे, x + 2 = x - (-2)

म्हणून, शेष सिद्धांतानुसार, जेव्हा p(x) ला (x + 2) ने विभाजित केले जाते = (x - (-2)) तेव्हा बाकी p(-2) च्या समान असते.

आता, p(x) = 2x5 + 4x4 + 7x3 - x2 + 3x + 12

⇒ p(-2) = 2(-2)⁵ + 4(-2)4 + 7(-2)3 - (-2)2 + 3(-2) + 12

⇒ p(-2) = -2(32) + 4(16) - 7(8) - (4) - 6 + 12

⇒ p(-2) = -64 + 64 - 56 - 4 + 6

⇒ p(-2) = -54

म्हणून, आवश्यक बाकी = -54.

वापरलेले सूत्र:

(a + b)² = (a2 + b2 + 2ab)

(a - b)(a + b) = a2 - b2

गणना:

= 25 - (x2 + y2 + 2xy)

= 5² - (x + y)²

= ( 5 + x + y ) (5 - (x + y))

∴  ( 5 + x + y ) (5 - x - y) हे अवयव आहेत.

समजा, f(x) = 4x6 – 5x3 – 3

⇒ f(x) = 4 × (x3)2 – 5x3 – 3

आता, x3 – 2 = 0

⇒ x3 = 2

 x3 = 2 ला  f(x) मध्ये टाकून,

⇒ 4 × 22 – 5 × 2 – 3

⇒ 16 – 10 – 3

⇒ 3