निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :

1. यदि (a + b), (a - b) के अनुक्रमानुपाती है, तो (a2 + b2), ab के अनुक्रमानुपाती है।

2. यदि a, b के अनुक्रमानुपाती है, तो (a2 - b2), ab के अनुक्रमानुपाती है।

उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं?

दिया गया है:

कथन 1: (a + b) ∝ (a - b)

कथन 2: a ∝ b

गणना:

कथन: 1 (a + b) ∝ (a - b)

⇒ (a + b) = k (a - b), (जहाँ k आनुपातिकता स्थिरांक है)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(a + b)² = k² (a - b)²

⇒ \(\frac{(a\ +\ b)^2}{(a\ -\ b)^2}\) = k²

⇒ \(\frac{(a^2\ +\ b^2\ +\ 2ab)}{a^2\ +\ b^2\ -\ 2ab)}\) = k2

योगान्तरानुपात नियम का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ \(\frac{(a^2\ +\ b^2\ +\ 2ab \ +\ a^2\ +\ b^2\ -\ 2ab)}{(a^2\ +\ b^2\ +\ 2ab \ -\ a^2\ -\ b^2\ +\ 2ab)}\) = \(\frac{k^2\ +\ 1}{k^2\ -\ 1}\)

⇒ \(\frac{2\ (a^2 \ + \ b^2)}{4ab}\) = \(\frac{k^2\ +\ 1}{k^2\ -\ 1}\)

⇒ (a² + b²) = \(\frac{k^2\ +\ 1}{k^2\ -\ 1}\) (2ab) 

इस प्रकार, (a2 + b2) ∝ ab है, जहाँ \(\frac{k^2\ +\ 1}{k^2\ -\ 1}\) और 2 स्थिरांक है। 

अतः कथन 1 सत्य है। 

कथन: 2 a ∝ b

⇒ a = kb, (जहाँ k आनुपातिकता स्थिरांक है)

⇒ a/b = k

योगान्तरानुपात नियम का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (a + b)/(a - b) = (k + 1)/(k - 1)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (a + b)²/(a - b)² = (k + 1)²/(k - 1)²

⇒ (a² + b² + 2ab)/(a² + b² - 2ab) = (k + 1)2/(k - 1)2

पुनः, योगान्तरानुपात नियम का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ 2 (a² + b²)/4ab = [(k + 1)2 + (k - 1)2]/[(k + 1)2 - (k - 1)2]

⇒ (a2 + b2) = ab [(k + 1)2 + (k - 1)2]/[(k + 1)2 - (k - 1)2]

यहाँ, [(k + 1)2 + (k - 1)2]/[(k + 1)2 - (k - 1)2] स्थिरांक है। 

⇒ (a2 + b2) = ab

इसलिए, (a2 - b2) ≠ ab 

अतः कथन 2 असत्य है। 

∴ केवल कथन 1 सत्य है।