बिंदु (0, 1) और (- 2, 7) से होकर गुजरने वाली रेखा के लंब का समीकरण ज्ञात कीजिए जिससे लंब बिंदु (1, 2) से होकर गुजरता है?

संकल्पना:

दो-बिंदु रूप: 

बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\left( {y - {y_1}} \right) = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} \cdot \left( {x - {x_1}} \right)\)

गणना:​

यहाँ, हमें बिंदु (0, 1) और (- 2, 7) से होकर गुजरने वाली रेखा के लंब का समीकरण ज्ञात करना है जिससे लंब बिंदु (1, 2) से होकर गुजरता है। 

सर्वप्रथम, बिंदु (0, 1) और (- 2, 7) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं। 

चूँकि हम जानते हैं कि, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2)  से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\left( {y - {y_1}} \right) = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} \cdot \left( {x - {x_1}} \right)\)

⇒ \(\left( {y - {1}} \right) = \frac{{{7} - {1}}}{{{- 2} - {0}}} \cdot \left( {x - {0}} \right)\)

⇒ 3x + y - 1 = 0

इसलिए, रेखा का समीकरण 3x + y - 1 = 0 है। 

उपरोक्त समीकरण को निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है: y = - 3x + 1 

अब y = mx + c के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करने पर, हमें दी गयी रेखा का ढलान अर्थात् m₁ = - 3 प्राप्त होता है। 

माना कि लंब का ढलान m2 है। 

∵ रेखा और आवश्यक लंब के बीच का कोण 90° है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 अर्थात् m1 ⋅ m2 = -1 है। 

⇒ \(- 3 \cdot m_2 = - 1 ⇒ m_2 = \frac{1}{3}\)

चूँकि हम जानते हैं कि, बिंदु (x1, y1) और ढलान ‘m’ से होकर गुजरने वाले एक रेखा का समीकरण निम्न रूप में दिया गया है: 

y – y1 = m ⋅ (x – x1)

इसलिए, उस लंब का समीकरण जिसका ढलान \(m_2 = \frac{1}{3}\) है और वह बिंदु (1, 2) से होकर गुजरती है। 

⇒ \(y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)\)

इसलिए, आवश्यक लंब का समीकरण: x - 3y + 5 = 0 है। 

अतः विकल्प B सही उत्तर है।