$23{}^{32}$ को 529 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

दिया गया है:

हमें 23³² को 529 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करना है।

प्रयुक्त अवधारणा:

ऑयलर का प्रमेय: यदि a और n सहअभाज्य हैं, तो a^φ(n) ≡ 1 (mod n), जहाँ φ(n) ऑयलर का टोटिएंट फलन है।

n = p^k के लिए जहाँ p एक अभाज्य संख्या है, φ(n) = p^k - p^k-1.

गणना:

φ(529) की गणना करें

चूँकि 529 = 23², हमारे पास φ(529) = 23² - 23¹ = 529 - 23 = 506 है।

चूँकि 23 और 529 सहअभाज्य नहीं हैं, हम सीधे ऑयलर के प्रमेय को लागू नहीं कर सकते हैं। हालाँकि, हम 23³² को (23²)¹⁶ = 529¹⁶ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

हम 529 से भाग देने पर 529¹⁶ का शेषफल ज्ञात करना चाहते हैं।

चूँकि 529¹⁶, 529 का गुणज है, शेषफल 0 है।

इसलिए, 23³² को 529 से भाग देने पर शेषफल 0 है।