यदि (an)n≥1 वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम हो तो निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?

Question

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This question was previously asked in

CSIR-UGC (NET) Mathematical Science: Held on (26 Nov 2020)

\(\sum_{n ≥ 1}(-1)^n \frac{a_n}{1+\left|a_n\right|}\) अभिसरित होता है
कोई उपानुक्रम \(\left(a_{n_k}\right)_{k \geq 1}\) ऐसा है कि \(\sum_{k ≥ 1} \frac{a_{n_k}}{1+\left|a_{n_k}\right|}\) अभिसरित होता है
ऐसी एक संख्या b है कि \(\sum_{n \geq 1}\left|b-\frac{a_n}{1+\left|a_n\right|}\right|(-1)^n\) अभिसरित होता है
कोई संख्या b तथा उपानुक्रम \(\left(a_{n_k}\right)_{k \geq 1}\) ऐसे है कि \(\sum_{k \geq 1}\left|b-\frac{a_{n_k}}{1+\left|a_{n_k}\right|}\right|\) अभिसरित होता है

Answer 1

स्पष्टीकरण:

सुझाव: < a _n > के लिए उपयुक्त विकल्प लेकर विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1). मान लें a _n = 1 तो \(\operatorname{\lim}_{n \rightarrow \infty}\) (-1) ⁿ . \(\frac{1}{2}\) ≠ 0

विकल्प (2). मान लीजिए a n = <1> और \(a_{n_k}\) = <1> तो

\(\sum_{k \geq 1}^{\infty} \frac{a_{n_k}}{1+\left|a_{n_k}\right|}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+1}=\sum \frac{1}{2}\) अभिसारी नहीं.

विकल्प (3), विकल्प (4): (नोट: हो सकता है आपको अधिक प्रयास करना पड़े) फिर एक समुद्र, _{<a n >}

मान लें a _n = (-1) ⁿ तो \(\sum\left|b-\frac{a_n}{1+| a_n \mid}\right|(-1)^n\)

\(=\sum\left|b-\frac{(-1)^n}{2}\right|(-1)^n\)

लेकिन यहाँ निश्चित 'b St ऊपर की श्रृंखला cgt बन जाती है। आप b = ½ या = -½ ले सकते हैं लेकिन दोनों नहीं, अन्यथा विशिष्टता खो जाएगी।

⇒ विकल्प (3) गलत है।

विकल्प (4): जैसा कि पहले चर्चा की गई है, b = ½ और \(a_{n_k}\) = <1> लें तो लगभग श्रृंखला अभिसारी हो जाती है। इसलिए विकल्प (4) सत्य है।