Question
Download Solution PDFमानें कि S एक अनंत समुच्चय है। यह मानते हुए कि चयन का अभिगृहीत (axiom of choice) लागू है, निम्न में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक फलन f : A → B एकैकी होता है यदि |A| = |B| जहाँ |A| A की गणनीयता है।
व्याख्या:
S एक अनंत समुच्चय है
(1): यदि S वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है अर्थात, S = \(\mathbb R\) तो |S| = C
और परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता = |\(\mathbb Q\)| = \(\aleph_0\)
चूँकि |S| ≠ |\(\mathbb Q\)| इसलिए S परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।
विकल्प (1) असत्य है
(2): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\) और |\(\mathbb R\)| = C इसलिए |S| ≠ |\(\mathbb R\)|
इसलिए S वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।
विकल्प (2) असत्य है
(4): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\)
इसलिए S के घात समुच्चय की गणनीयता = \(2^{\aleph_0}\) = C
अतः S, S के घात समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।
विकल्प (4) असत्य है
(3): यदि S = पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\) और S × S की गणनीयता = |S × S| = |\(\aleph_0\) x \(\aleph_0\)| = \(\aleph_0\)
इसी प्रकार किसी भी अनंत समुच्चय के लिए S की गणनीयता S × S की गणनीयता के समान होगी।
अतः S, S × S के साथ एकैकी है।
विकल्प (3) सही है।
Last updated on Jun 5, 2025
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